【CTSC1997】选课

树形dp可能是最优美的dp了……

这是一道经典的树上背包问题，考虑两种做法。第一种是直接在树上做一遍背包问题，另一种是把这棵树转化成“左儿子右兄弟”的二叉树，再做一遍背包问题。

方法一：我们定义f[i][j]表示以i为根的子树，一共选j门课最大的分数，那么我们可以得到f[i][j]=max(f[i][j-k]+f[x][k]) 其中x∈son(i).将这棵树遍历一遍即可求解。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
int n,m,s[310];
vector<int> a[310];
int f[310][310];
void dfs(int now) {
    f[now][0]=0;
    for(int i=0;i<a[now].size();i++) {
        int to=a[now][i];
        dfs(to);
        for(int j=m;j>=0;j--)
            for(int k=j;k>=0;k--)
                f[now][j]=max(f[now][j],f[now][j-k]+f[to][k]);
    }
    if(now) {
        for(int i=m;i>=1;i--) 
            f[now][i]=f[now][i-1]+s[now];
    }
}
int main() {
    cin>>n>>m;
    for(int i=1,x;i<=n;i++) {
        cin>>x>>s[i];
        a[x].push_back(i);
    }
    memset(f,0xcf,sizeof(f));
    dfs(0);
    cout<<f[0][m]<<endl;
    return 0;
}

方法二：将这棵树转化为“左儿子右兄弟”的二叉树，此时f[i][j]表示在新的二叉树当中，f[i][j]表示以i为根的子树，一共选j门课最大的分数。那么分两种情况讨论。

1. 如果不选i，那么i的左儿子（原来的树中的儿子）就不能选，此时f[i][j]=f[brother[i]][j].
2. 如果选i,并且选了k个i的左儿子，那么f[i][j]=val[i]+f[son[i]][k]+f[brother[i]][j-k-1].

我们在这两种决策当中取最优即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
template <typename T>
T max(T x,T y)
{
    return x>y?x:y;
}
inline int read() {
    int ret=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {
        if(c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c<='9'&&c>='0') {
        ret=ret*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return ret*f;
}
int n,m,so[310],br[310];
int f[310][310],val[310];
inline void add(int father,int son) {
    br[son]=so[father];
    so[father]=son;
}
int dfs(int i,int j) {
    if(i==-1) return 0;
    if(j==0) return 0;
    if(f[i][j]!=-1) return f[i][j];
    int ret=-1<<30;
    ret=max(ret,dfs(br[i],j));
    for(int k=0;k<=j-1;k++)
        ret=max(ret,dfs(so[i],k)+dfs(br[i],j-k-1)+val[i]);
    return f[i][j]=ret;
}
int main() {
    n=read(); m=read();
    memset(so,-1,sizeof(so));
    memset(br,-1,sizeof(br));
    memset(f,-1,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int x;
        x=read();
        val[i]=read();
        add(x,i);
    }
    printf("%d
",dfs(0,m+1));
    return 0;
}