【POJ2411】Mondriaan's Dream

状压dp的一种经典模型，覆盖问题。

我们定义f[i][j]表示当第i行的状态为j时，前i行的方案数。显然答案为f[n][0].

关于压缩状态，我们定义一个m位的二进制数，其中第i位为1的含义是，第i列是一个竖着的矩形的上半部分。第i位为0则表示其他情况。

因此，第i-1行的状态k能转移到第i行的状态j，当且仅当：

1. k&j的值为0.这保证了每一个1下面都是0。代表继续补全这个矩形。
2. j|k的结果的二进制表示中，每一段连续的0都必须有偶数个。因为这些0表示横躺着的矩形，当为奇数时不符合题意。（我们预处理符合题意的情况记录在集合S中）

写成公式就是

因此，我们可以在dp之前预处理出每一种状态是否符合条件2即可实现O(1)的转移，总时间复杂度为O(4^mn).

#include <iostream>
using namespace std;
int n,m;
long long f[12][1<<12];
bool ok[1<<12];
int main() {
    while(cin>>n>>m&&n+m) {
        for(int i=0;i<1<<m;i++) {
            bool pd=0,x=0; 
            for(int j=0;j<m;j++)
                if(i>>j&1) pd|=x,x=0;
                else x^=1;
            ok[i]=x|pd?0:1;
        }
        f[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<1<<m;j++) {
                f[i][j]=0;
                for(int k=0;k<1<<m;k++)
                    if(!(k&j)&&ok[j|k]) f[i][j]+=f[i-1][k];
            }
        printf("%lld
",f[n][0]);
    }
    return 0;
}