【洛谷P1357】花园

Description

给定一个环形的01序列，保证任意相邻的m个值中有不超过k个1，求满足要求的方案数对1e9+7取模的值

Solution

状压dp+矩阵快速幂

由于m的范围很小，所以我们考虑状压dp存储状态，而由于n很大，所以我们考虑矩阵快速幂优化转移

我们定义$f(i,j)$表示前i个数最后m个的状态为j时的方案数，显然这个dp的初始是所有合法的$f(m,j)$

考虑这个dp的终点，显然是$f(n+m,j)$，别忘了这是一个环形。

那么我们通过矩阵优化转移，定义矩阵x[i][j]表示i状态能否转移到j状态，那么转移我们只需要将这个矩阵自乘n次即可

关于初始状态，我们可以通过dfs枚举合法的状态即可。

最终的答案就是x[i][i]

时间复杂度为$O((2^m)^3log_2n)$

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
ll n, m, k;
int maxx, id[7];
struct Matrix {
    ll m[70][70];
    Matrix() {memset(m, 0, sizeof(m));}
    Matrix operator *(const Matrix &x) const {
        Matrix ret;
        for (register int i = 0; i <= maxx; ++i)
            for (register int j = 0; j <= maxx; ++j)
                for (register int k = 0; k <= maxx; ++k)
                    ret.m[i][j] = (ret.m[i][j] + m[i][k] * x.m[k][j] % mod) % mod;
        return ret;
    }
} a, b;
int vis[1000];
void make(int s, int num) {
    int last = s >> 1;
    vis[s] = 1; b.m[last][s] = 1;
    if (num < k || s & 1) b.m[last + id[m - 1]][s] = 1;
}
void dfs(int x, int now, int s) {
    if (x == m + 1) {
        make(s, now);
        return ;
    }
    dfs(x + 1, now, s);
    if (now < k) dfs(x + 1, now + 1, s | id[x - 1]);
}
int main() {
    scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);
    maxx = (1 << m) - 1;
    id[0] = 1;
    for (register int i = 1; i <= 6; ++i) id[i] = id[i - 1] << 1;
    for (register int i = 0; i <= maxx; ++i) a.m[i][i] = 1;
    dfs(1, 0, 0);
    while (n) {
        if (n & 1) a = a * b;
        b = b * b;
        n >>= 1;
    }
    ll ans = 0;
    for (register int i = 0; i <= maxx; ++i)
        if (vis[i]) ans = (ans + a.m[i][i]) % mod;
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}