前面已经谈过最大一维子数组和问题，这里面扩展到二维。
一. 常规情况
一个矩形的数组，找到一个矩形的子数组有最大的元素和，求这个和。
1. 从朴素算法入手，枚举矩形数组的4个顶点，以此计算其数组和。同样，时间复杂度很大，我们仅以此入手逐步优化。
2. 参照一维数组的思路，保存中间结果，利用动态规划优化算法。优化点就是子数组求和一处，二维数组的求和不同于一维，但是仍然能找到方法：
先声明这个方法是参考《编程之美》书中的讲解的，鄙人大脑迟钝，尚无法独创：
令二维数组的起点不是0，而是1，使用PS[i][j]表示以[0][0], [i][0], [0][j], [i][j]四个顶点围起来的子数组和，边界上的PS[*][0]和PS[0][*]全置零。则有：
PS[i][j] = PS[i - 1][j] + PS[i][j - 1] - PS[i - 1][j - 1] + A[i][j]
其中，A为整个二维数组，Row_num, Clm_num分别为数组行数、列数。
void cal_PS(){ int i, j; for (i = 0; i <= Row_num; i++){ PS[i][0] = 0; } for (j = 0; j <= Clm_num; j++){ PS[0][j] = 0; } for (i = 1; i <= Row_num; i++){ for (j = 1; j <= Clm_num; j++){ PS[i][j] = PS[i - 1][j] + PS[i][j - 1] - PS[i - 1][j - 1] + A[i][j]; } } }
上面的函数处理了部分和，这部分时间复杂度O(Row_num2 * Clm_num2).
3. 有了部分和，下面寻找最大和的数组。我们的核心思路是把未知问题归结到已知的一维问题上。即，首先循环二维子数组数组的上下界，在每个上下界确定的情况下，用一维数组的方法确定其左右边界。形象一点说，就是先假定数组上下界已知，然后把每一列上的元素压扁，变成一维的。BC(a, c, j)就是a, c两行之间第j列元素加在一起的和。
核心代码如下：
1 int MaxSum_mode1(int isCalled){ 2 if(isCalled == 0){ //有时候不需要读取文件，见后文 3 readArray(file); 4 cal_PS(); 5 } 6 int maximum = -2147483648; 7 int Start, All; 8 for (int a = 1; a <= Row_num; a++){//起始行 9 for (int c = a; c <= Row_num; c++){ //终结行 10 Start = BC(a, c, Clm_num); //下面就是阐述的算法 11 All = Start; 12 for (int i = Clm_num - 1; i >= 1; i--){ 13 if(Start < 0) 14 Start = 0; 15 Start += BC(a, c, i); 16 if(Start > All) 17 All = Start; 18 } 19 if(All > maximum) 20 maximum = All; 21 } 22 } 23 return maximum; 24 }
至此，我们完成了新问题的求解和优化，时间复杂度 O(Row_num2 * Clm_num)
下面的动图展示了BS扫描的部分，左上角表示当前的All值：
二. 拓展模式
这里面我们进行两种拓展：二维数组水平方向收尾相接成环，和竖直方向相接成环。
1. /h 模式，水平成环
冷静的分析这种拓展造成了什么不同，我们发现拓展之后，问题仅是原始问题+新情况而已。如果最大和子数组不是跨越边界拼接在一起的情况，那就和上面的老问题相同；另一种情况就是，最大和子数组是跨越边界拼接在一起的。这种情况，即子数组分为A[1][*]~A[i][*], A[j][*]~A[Clm_num-1][*]两段，跨越边界接在一起。其中A[1][*],A[Clm_num-1[*] 分别是数组的左右边界那列。
换一句话说，假设a,c上下界已经固定，第二种情况就是从全局内剔除中间一段留下两边。被剔除的要求和小于0，且最小。接下来的问题就转化为求中间部分的子数组的最小值了。故，分两种情况讨论，取大值为最终答案。第二种情况就是修改第一种情况而来。注意求和部分。
1 int MaxSum_mode3(int isCalled){ // /h 2 if(isCalled == 0){ 3 readArray(file); 4 cal_PS(); 5 } 6 int MaxSum_noJump = MaxSum_mode1(1); // 不跨越的和最大子数组 7 int MaxSum_Jump; //跨越的和最大子数组 8 9 int minimum = 2147483647; 10 int Start, All; 11 int WholeSum = 0; 12 int tmpSum = 0; 13 for (int a = 1; a <= Row_num; a++){//起始行 14 for (int c = a; c <= Row_num; c++){ //终结行 15 tmpSum = 0; 16 Start = BC(a, c, Clm_num - 1); 17 All = Start; 18 for (int i = Clm_num - 2; i > 1; i--){ 19 if(Start > 0) 20 Start = 0; 21 Start += BC(a, c, i); 22 if(Start < All) 23 All = Start; 24 tmpSum += BC(a, c, i);//累加去除头尾后的 中间元素的和 25 } 26 if(All <= minimum){ 27 int newSum = tmpSum + BC(a, c, 1) + BC(a, c, Clm_num) + BC(a, c, Clm_num - 1); 28 if (newSum - All > WholeSum - minimum){ 29 minimum = All; 30 WholeSum = newSum; //当找到更小的 中间元素的和，重新算a,c两行之间全部元素的和 31 } 32 } 33 } 34 } 35 MaxSum_Jump = WholeSum - minimum; //有跨越情况，子数组分头尾两半。两半的和等于全部元素和 减 中间踢出去的元素和的小于零的最小值 36 return MaxSum_noJump > MaxSum_Jump ? MaxSum_noJump : MaxSum_Jump; 37 }
下面的动图展示了BS扫描的步骤。左上角显示的是All的值：
2. /v 模式，竖直成环。
到目前，我们一直坚守“归结法”的思想，在简单问题找到优化解法后，将新问题化归到老问题，同样，/v的情况也不例外。在读取文件时，我们将数组存储成与前面沿对角线对称的形式，就可以利用水平成环的解法而不做任何改动。因为调换后的新数组的水平方向就是原来的竖直方向。下面只需要展示读文件存数组时的步骤即可：
1 for (i = 1; i <= Row_num; i++){ 2 for (j = 1; j <= Clm_num; j++){ 3 A[i][j] = fgint(file); //这里仅需换成A[j][i]即可 4 } 5 }
3. /h /v 模式，将二维数组变成轮胎形状。
这个笔者确实想了很久。受前面启发，依旧分情况讨论，以运用归结法化简。轮胎形状，首先考虑最大子数组不是竖直、水平均跨越的情况，细分为3种情况，即前文三种情况。第四种情况我们专门来讨论，即最大和子数组两个方向均跨越。数组的形状就是二维数组的四个角。
这里我们的思路是，仿照前面的思路，a表示左上、右上两块子数组的下界，c表示下面两块子数组的上届，在假定a，c已知的情况下，在原数组中删去a, c之间的行，新的子数组将被接成上下连续、左右分开的形状，这正好是之前处理过的水平相接成环的情况。因此，这部分的代码为：
1 int MaxSum_mode5(){ // /h /v 2 readArray(); 3 cal_PS(); 4 int Max_md1 = MaxSum_mode1(1); 5 int Max_md3 = MaxSum_mode3(1); 6 int Max_md4 = MaxSum_mode4(); 7 swap(&Clm_num, &Row_num); // /v情况颠倒了数组，这里还原行、列数目 8 int Max_md5; 9 10 Max_md5 = -2147483648; 11 int a, c, tmp = Max_md5; 12 for (a = 2; a < Row_numB; a++){ 13 for (c = a; c < Row_numB; c++){ 14 makeA(a, c); //删去数组a,c行之间的行（含a, c 15 tmp = MaxSum_mode3(1); 16 if (tmp > Max_md5){ 17 Max_md5 = tmp; 18 } 19 } 20 } 21 if(Max_md1 > Max_md5) 22 Max_md5 = Max_md1; 23 if(Max_md3 > Max_md5) 24 Max_md5 = Max_md3; 25 if(Max_md4 > Max_md5) 26 Max_md5 = Max_md4; 27 return Max_md5; 28 }
三. 以上的总结
描述在这么多相似的需求面前, 你怎么维护你的设计 (父类/子类/基类, UML, 设计模式, 或者其它方法) 让整个程序的架构不至于崩溃的?
程序的核心在于算法，因此并未使用面型对象的方法。为使得代码易于维护，且在归结法密集使用的本程序中，我通过将程序模块化增加的扩展性和可维护性。这具体表现在单独功能独自成函数，在能够使用已完成函数的情况下，调用函数而非重写代码。上述从mode1到mode5，后面的模式均使用了前面的模式的代码。
给出你做单元测试/代码覆盖率的最终覆盖率的报告, 用截屏显示你的代码覆盖率
首先给出上述各情况的测试截屏。从下图可以看到测试用例、模式和结果。
/h /v的测试，通过调试发现各个情况的值都正确，故可证明程序正确。
阅读 工程师的能力评估和发展 和相关文章, 在完成作业的时候记录自己花费的时间, 并填下表。如果你对有些术语不太清楚，请查看教材和其它资料。如果你认为你不需要做某个步骤, 那就跳过去。
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Personal Software Process Stages |
时间百分比(%) |
实际花费的时间 (分钟) |
原来估计的时间 (分钟) |
|
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Planning |
计划 |
|||
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· Estimate |
· 估计这个任务需要多少时间，把工作细化并大致排序 |
230% | 700 | 300 |
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Development |
开发 |
|||
|
· Analysis |
· 需求分析 (包括学习新技术) |
100% | 60 | 60 |
|
· Design Spec |
· 生成设计文档（博客） |
100% | 90 | 90 |
|
· Design Review |
· 设计复审 (和同事审核设计文档) |
0 | 0 | 0 |
|
· Coding Standard |
· 代码规范 (制定合适的规范) |
0 | 0 | 0 |
|
· Design |
· 具体设计 |
150% | 240 | 360 |
|
· Coding |
· 具体编码 |
100% | 180 | 180 |
|
· Code Review |
· 代码复审 |
100% | 30 | 30 |
|
· Test |
· 测试（自我测试，修改代码，提交修改） |
100% | 60 | 60 |
|
Reporting |
总结报告 |
|||
|
（博客） | |||
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100% | 40 | 40 | |
| Total | 总计 | 220% |
总用时 约11小时 |
总估计的用时 5小时 |
你在这个作业中学到了什么? 有什么好的设计值得分享? 感想如何 (太容易 / 太难 / 太无趣)?
本次作业中，我深入体会了“归结法”的思想，也为自己独自从学习到思考最后解决问题而愉快。因为之前较少接触这样算法类的问题，也没有这样专业而完整的开发过程，本次作业让我学会了如何学习、如何思考问题，并在完成后总结。当然，我也有不足，就是deadline之前没能抓紧时间，导致最后的任务量异常繁重。编程序不能等deadline，是我应该明白的道理。
至于好的设计，我已经尽力写出能想到的最好的了...当然我还会继续欣赏其他高分同学的作品并学习。上面的设计，也是受《编程之美》一书和很多人的博客启发而想到的。
这次作业的感想是，过程很充实，让人学到很多，但是任务量有点大... 因为个人选的课程有点多，所以不得不在国庆节坐到腰酸背疼..也许熟练了能好点吧..
四. 其他
关于/a的情况.. 没有什么好算法，只好用退火随机化算法了，没什么能分享的了。
然后关于“单元测试”，“代码覆盖率”，因为本程序应对5种模式，代码覆盖率会比较低。因为没采用面向对象的类，暂时未找到代码覆盖率的查看方法，我会下节课请教助教大人或者老师的。
为了便于理解，上面的代码并不是最终的代码。程序不断扩充，代码也有少许变化。
感谢阅读，祝中秋快乐！