来自：http://deeplearning.net/software/theano/tutorial/symbolic_graphs.html
Graph Structures
Theano是将符号数学化的计算表示成graphs。这些graphs是由将Apply 和 Variable节点内连接而组成的，它们是分别与函数的应用和数据相连接的。 操作是由 Op 实例所表示的，而数据类型是由 Type 实例所表示的。下面有一段代码和一个图表，该图表用来说明由这些代码所构建的结构。这些应该有助于你理解如何将这些片拟合到一起：
代码：
x = dmatrix('x')
y = dmatrix('y')
z = x + y
图
箭头用来表示对指向的python对象的引用。这里的蓝色盒子是一个 Apply 节点。红色盒子是 Variable 节点。绿色圆圈是Ops.。紫色盒子是 Types。
在创建 Variables 之后，对它们应用 Apply Ops 从而得到更多的变量，并得到一个二分、有向、无环图。变量指向 Apply 节点的过程是用来表示函数通过它们的owner 域来生成它们 。这些Apply节点是通过它们的inputs和outputs域来得到它们的输入和输出变量的 (Apply 的实例同样包含指向他们outputs的引用的列表，不过这些指针不计算在这个graph内)。
x 和 y 的owner 域的指向都是None是因为它们不是另一个计算的结果。如果它们中的一个是另一个计算的结果，那么owner域将会指向另一个的蓝色盒子比如 z 。
注意到 Apply 实例的输出指向z ，而z.owner也指回Apply实例的。
一、一个显式的例子
在这个例子中，我们将会对比两种定义相同graph的方式。首先，一段短代码用来构建一个表达式 (graph)，该正常的方式是大多数graph构建的时候自动使用的。第二种方式，我们将会使用一段较长的代码来干相同的事情，这里面没有用到任何的快捷方式，所以这可以让graph的构建变得很 explicit。
1.1 Short example
这就是通常的方式：
# create 3 Variables with owner = None
x = T.matrix('x')
y = T.matrix('y')
z = T.matrix('z')
# create 2 Variables (one for 'e', one intermediate for y*z)
# create 2 Apply instances (one for '+', one for '*')
e = x + y * z1.2 Long example
这就是显式的构建graph的方式：
from theano.tensor import add, mul, Apply, Variable, TensorType
# Instantiate a type that represents a matrix of doubles
float64_matrix = TensorType(dtype = 'float64', # double
broadcastable = (False, False)) # matrix
# We make the Variable instances we need.
x = Variable(type = float64_matrix, name = 'x')
y = Variable(type = float64_matrix, name = 'y')
z = Variable(type = float64_matrix, name = 'z')
# This is the Variable that we want to symbolically represents y*z
mul_variable = Variable(type = float64_matrix)
assert mul_variable.owner is None
# Instantiate a symbolic multiplication
node_mul = Apply(op = mul,
inputs = [y, z],
outputs = [mul_variable])
# Fields 'owner' and 'index' are set by Apply
assert mul_variable.owner is node_mul
# 'index' is the position of mul_variable in mode_mul's outputs
assert mul_variable.index == 0
# This is the Variable that we want to symbolically represents x+(y*z)
add_variable = Variable(type = float64_matrix)
assert add_variable.owner is None
# Instantiate a symbolic addition
node_add = Apply(op = add,
inputs = [x, mul_variable],
outputs = [add_variable])
# Fields 'owner' and 'index' are set by Apply
assert add_variable.owner is node_add
assert add_variable.index == 0
e = add_variable
# We have access to x, y and z through pointers
assert e.owner.inputs[0] is x
assert e.owner.inputs[1] is mul_variable
assert e.owner.inputs[1].owner.inputs[0] is y
assert e.owner.inputs[1].owner.inputs[1] is z
注意到如何调用 Apply 来修改当 Variables指向的输出是自身的时候的 owner 和 index 域，和如何改变在输出列表中占据的顺序位置。这整个机制建立的一个DAG (有向无环图，Directed Acyclic Graph)，从而来表示计算的过程，graph可以在theano中被编译和优化。
二、自动包装
在graph中所有的节点都必须是 Apply 或者 Result的实例，不过 <Op subclass>.make_node() 通常会包装常量来满足这些约束。例如， tensor.add() 操作实例可以写成如下形式：
e = dscalar('x') + 1构建如下的graph:
node = Apply(op = add,
inputs = [Variable(type = dscalar, name = 'x'),
Constant(type = lscalar, data = 1)],
outputs = [Variable(type = dscalar)])
e = node.outputs[0]
三、Graph Structures
下面的部分概述了可以用在建立theano计算graph的结构的每个类型。这里介绍这几种结构： Apply, Constant, Op, Variable and Type.
3.1 Apply
一个Apply 节点是一个内部节点的类型，用来表示theano中的 computation graph 。不同于 Variable nodes，Apply 节点通常不是直接被最终用户操作的。。它们可以通过变量的onwer域来访问。
Apply节点通常是Apply类的一个实例。它表示Op 在一个或多个输入上的应用，这里每个输入都是一个 Variable。按照惯例，每个Op都有责任去了解如何从一个输入列表中构建一个Apply节点。因此， Apply节点可以从 Op和输入列表的基础上，通过调用 Op.make_node(*inputs)来得到。
相比较于python语言来说， Apply 节点是函数调用的theano版本，而 Op 是函数定义的theano版本。
一个Apply实例有着下面三个很重要的域：:
- 3.1.1 op
- Op 决定着在什么地方使用函数/转换。
- 3.1.2 inputs
- Variables 的列表，用来表示函数的参数。
- 3.1.3 outputs
- Variables 的列表，用来表示函数的返回值。
Apply实例可以通过调用 gof.Apply(op, inputs, outputs)来创建。
3.2 Op
theano中的Op 是在某些类型的输入上定义一个具体的计算，并生成某些类型的输出。它等效于在大多数编程语言中的函数定义。从一个输入 Variables 的列表和一个Op，你就可以建立一个 Apply 节点，来表示Op 对输入的应用。
理解一个Op(函数的定义)和Apply节点（函数的应用）之间的差别是很重要的。如果你使用theano的结构来解释python语言，写的代码就像 def f(x): ... ，将会对f 生成一个Op，然而如果像 a = f(x) 或者 g(f(4), 5) 那么就生成一个涉及到f Op的Apply节点。
3.3 Type
theano中的 Type 用来表示潜在数据对象上的一组约束。这些约束允许theano能够定制C 代码来处理它们，并对计算graph进行静态优化。例如， 在theano.tensor中的irow 类型会在数据上有以下约束：
- 必须是 numpy.ndarray: isinstance(x, numpy.ndarray)的实例
- 必须是32位整数的数组: str(x.dtype) == 'int32'
- shape必须是1xN: len(x.shape) == 2 and x.shape[0] == 1
在知道这些约束条件下，theano可以生成额外的C代码，声明正确的数据类型和基于维度上进行准确次数的循环。
Theano的 Type 不等同于 Python 的type 或者 class。在Theano中， irow 和 dmatrix 都是使用 numpy.ndarray 来作为潜在的类型来进行计算和存储数据，然而他们都是不同的theano type。使用dmatrix时候的约束如下：
- 必须是 numpy.ndarray: isinstance(x, numpy.ndarray)的实例
- 必须是64位的浮点数数组: str(x.dtype) == 'float64'
- shape必须是 MxN，在 M 或 N上都没有限制: len(x.shape) == 2
这些约束不同于上面列出的irow的约束。
在这些情况中，type可以完全对应于python的type，例如我们这里定义的double 类型，对应着python的float。不过这些不是必须的，除非指定了，所以当我们说“type”的时候，说的就是theano的type。
3.4 Variable
Variable 是当你使用theano的时候主要用到的数据结构。你操作的符号输入都是变量，而且通过各种Ops在输入上的使用得到的也是变量。例如，当输入下面的命令：
>>> x = theano.tensor.ivector() >>> y = -x
x 和 y 都是变量，即变量类的实例。x和y 的 Type 都是 theano.tensor.ivector.
y 是计算的输出值对应的变量，而x是对应于输入的变量。计算的自身是通过另一个节点来表示的，一个Apply 节点，和通过 y.owner来进行访问。
更具体的说，theano中一个变量是是一个基本结构，用来表示在计算中某个具体的点上的基准。通常是类 Variable 或者是它的一个子类的实例。
变量 r 包含着4个重要的域：
- 3.4.1 type
- Type 定义这可以在计算中使用的变量。
- 3.4.2 owner
- t是为None 或者一个变量的 Apply 节点的一个输出。
- 3.4.3 index
- 整数，例如 owner.outputs[index] 是 r (当 owner 为 None的时候忽略)
- 3.4.4 name
- 一个字符串，用于友好的打印和调试。
变量还有一个特殊的子类: Constant.
3.4.5 Constant
一个常量就是有着一个额外域data的 Variable ，它只能被设置一次。当在计算graph中用作 Opapplication的输入的时候，需要假设该输入总是常量的数据域部分。更进一步的说，需要假设 Op 不会修改该输入，也就是说一个常量是可以参与大量的优化的，比如在C中的常量内联，常量折叠等。
在一个 function的输入列表中，常量是无需指定的。事实上，做的话还会引起一个异常。
四、Graph 结构的扩展
当我们开始对一个theano函数进行编写的时候，我们需要计算一些额外的信息。这部分描述的是所提供的信息的一部分，不是所有都说清楚了，所以如果当你找不到的时候，可以 email theano的开发团队。
该 graph是在编译的开始进行复制。所以在编译的时候修改不会影响到用户的graph。
每个变量都接受的一个新域叫做clients。它是一个对图中使用过的变量的每个位置的引用列表， 。如果length为0，就意味着该变量没有被使用。每个被使用的位置都是通过包含2个元素的元组描述的。下面就是该对的两个类型：
- 第一个元素是一个 Apply节点.
- 第一个元素是字符串“output”，也就是说该函数的输出是这个变量。
在对的这两个类型中，元组的第二个元素是一个索引，例如: var.clients[*][0].inputs[index] orfgraph.outputs[index] 就是这个变量。
import theano
v = theano.tensor.vector()
f = theano.function([v], (v+1).sum())
theano.printing.debugprint(f)
# Sorted list of all nodes in the compiled graph.
topo = f.maker.fgraph.toposort()
topo[0].outputs[0].clients
# [(Sum(Elemwise{add,no_inplace}.0), 0)]
topo[1].outputs[0].clients
# [('output', 0)]
# An internal variable
var = topo[0].outputs[0]
client = var.clients[0]
client
# (Sum(Elemwise{add,no_inplace}.0), 0)
type(client[0])
# <class 'theano.gof.graph.Apply'>
assert client[0].inputs[client[1]] is var
# An output of the graph
var = topo[1].outputs[0]
client = var.clients[0]
client
# ('output', 0)
assert f.maker.fgraph.outputs[client[1]] is var参考资料：
[1] 官网：http://deeplearning.net/software/theano/extending/graphstructures.html#type