三分查找模板和例题

通过左右三分定出两个点，判断两点的高低，然后舍掉三分之一的距离，寻找凸函数的极值点。

• 如果 lmid 和 rmid 在最大（小）值的同一侧： 那么由于单调性，一定是二者中较大（小）的那个离最值近一些，较远的那个点对应的区间不可能包含最值，所以可以舍弃。
• 如果在两侧： 由于最值在二者中间，我们舍弃两侧的一个区间后，也不会影响最值，所以可以舍弃。

例题1：P3382 【模板】三分法

题意：三分模板题，求n次函数在[l,r]的极值点，保留5位小数，保证答案存在。

（这道题的题解很有趣，什么鬼都出来了，明明是三分模板，偏偏有很多大佬要凑热闹，粒子群算法、求导+二分、模拟退火算法、黄金分割法、梯度下降、四分等，留下了不学无术的泪水）

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<math.h>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<ctime>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
const double pi=3.1415926;
using namespace std;

double a[15];
int n;
double l,r;

double cal(double x){///计算n次函数在x点的值
    double res=0;
    for(int i=n;i>=0;i--)
        res+=a[i]*pow(x, i);
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%lf%lf",&n,&l,&r);
    for(int i=n;i>=0;i--)
        scanf("%lf",&a[i]);
    double eps=0.0000001;///减小误差
    while(fabs(r-l)>=eps){
        double m=(r-l)/3;///三分距离
        double lm=l+m;///左三分点
        double rm=r-m;///右三分点
        if(cal(lm)<cal(rm))
            l=lm;
        else
            r=rm;
    }
    printf("%.5f
",l);
    return 0;
}

另外，不知道为什么Java的代码全部超时，代码复制得一模一样，请指教。

import java.util.*;

public class Main{
    
    static double[] a=new double[15];
    static int n;
    static double eps=0.0000001;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan=new Scanner(System.in);
        n=scan.nextInt();
        double l=scan.nextDouble();
        double r=scan.nextDouble();
        for(int i=n;i>=0;i--) 
            a[i]=scan.nextDouble();
        double ans=0;
        while(Math.abs(r-l)>eps) {
            double m=(r-l)/3;
            double lm=l+m;;
            double rm=r-m;;
            if(cal(lm)<=cal(rm))
                l=lm;
            else 
                r=rm;
        }
        System.out.printf("%.5f
",l);
    }
    
    public static double cal(double x) {
        double res=0;
        for(int i=n;i>=0;i--) 
            res+=a[i]*Math.pow(x, i);
        return res;
    }
}

例题2：牛客练习赛59C装备合成

题意：有x件材料a和y件材料b，2件材料a和3件材料b可以做一件装备A，4件材料a和1件材料b可以做一件装备B，求最多能做多少装备。1<=a,b<=1e9

思路：假设装备A做了a件，装备B则是min( (x-2a)/4,y-3a )，答案ans=a+min( (x-2a)/4,y-3a )。大佬们说：不难看出是凸函数，然后三分查找。

赛后补题的，题解说是三分那就是三分，大佬说打表就能看出是三分，可能是题做多了就有经验吧，代码附带打表函数可以像大佬们一样测试。

偶然发现的坑：三分三分，像我一样的初学者设置while条件就喜欢设成r-l<=3，刚好可以被3除，皆大欢喜。但是对于整数，要考虑取整问题，如果这样设while条件，在if判断中加一个等号和不加等号会导致结果不一样，可以修改代码测试一下，详看代码。为了保证准确性，最终出来的l和r最好是一段稍微大一点的区间，再去遍历求极值，稳！

import java.util.*;

public class Main{//牛客练习59C
    static int x,y;
    public static void main(String []args) {    
        Scanner scan=new Scanner(System.in);
        /* 大佬们说的打表，还真是这么回事
        dabiao(300, 300);
        dabiao(60,10);
        */
        int t=scan.nextInt();
        while(t!=0) {
            t--;
            x=scan.nextInt();
            y=scan.nextInt();
            int l=0,r=Math.min(x/2, y/3);
            while(r-l>=9) {//这里的差值不要用3，用稍微大一点的区间
                int m=(r-l)/3;
                int lm=l+m;
                int rm=r-m;
                //System.out.printf("lm=%d cal(lm)=%d   rm=%d cal(rm)=%d
",lm,cal(lm),rm,cal(rm));
                if(cal(lm)<cal(rm))//把while设成r-l>=3后加不加等号第四组数据会出错。
                    l=lm;
                else 
                    r=rm;
            }
            //System.out.printf("l=%d r=%d
",l,r);
            int ans=0;
            for(int i=l;i<=r;i++) //上面只是锁定了一个区间，没能找到最值，左右区间不超过3，再遍历一下
                ans=Math.max(ans, cal(i));
            System.out.println(ans);
        }
    }
    public static int cal(int a) {
        int res=a+Math.min( (x-2*a)/4, y-3*a);
        return res;
    }
    
    public static void dabiao(int x,int y) {//大佬说的打表
        //从做0件A装备到全部做A装备
        System.out.printf("打表x=%d y=%d
",x,y);
        for(int i=0;i<Math.min(x/2, y/3);i++) {
            int b=Math.min( (x-2*i)/4, y-3*i);
            System.out.printf("a=%d b=%d sum=%d
",i,b,i+b);
        }
        System.out.println();
        
    }
    
}