2016-5-30模拟测试

• T1

  • description
    给一棵(n(leqslant 100000))个节点的树，每个节点的种类两两不同，要求支持一下几个操作：
    1.将这个点到根的路径变成一种新的点
    2.询问以这个点为根的子树中的点到根的所有路径，对于每一条路径，贡献为这条路径上不同的点的个数。
    3.换根
  • solution
    可以发现这些都是LCT的操作，将虚边设为1，实边设为0，则只需要问子树内所有点到根的权值和就行了，而这个在(access)的过程中配合线段树的子树修改即可。
  • notice
    在配合线段树进行子树修改的时候，往往需要知道一个点在另一个点的哪棵子树中，这可以用倍增或者链剖处理，LCT处理起来就更方便了，并且我们可以以直接知道这些点和根的位置关系，讨论一下就行了（注意讨论的严谨性）。

• T2

  • description
    对于(forall 1 leqslant k leqslant n) 求(1,2,3...n)的所有错排中含有长度为(k)的环(令(i)向(a_i)连边)的排列的数量。
  • solution
    枚举循环节长度，以及至少有几个循环节，容斥计算即可，还要套个错排公式。

• T3

  • description
    给一个序列(a_1,a_2,...a_n)，若(i<j且a_i>a_j)则(i,j)之间有一条边，求即是独立集又是支配集的集合的数量。
  • solution
    独立集:上升序列
    支配集+独立集：设(f_i)为前(i)个数选了(i)的方案数，对于(f_i)可以更新(f_j)的需满足对于(forall i < k < j,a_i < a_k < a_j),复杂度(O(n^2)).
    我考场上记了一个已选的最大的和未选的最小的，本来是(O(n^3))的但是必须满足最大的小于最小的，就会有很多无用状态，拿map进行转移就通过了所有的测试点。