[USACO12FEB]牛的IDCow IDs 一题多解（求二进制中有k个1 ，第n大的数)

题目：

FJ给他的奶牛用二进制进行编号，每个编号恰好包含K 个"1" (1 <= K <= 10)，且必须是1开头。FJ按升序编号，第一个编号是由K个"1"组成。

请问第N(1 <= N <= 10^7)个编号是什么。

 

不同寻常的暴力：

样例是升序的第7个，我把1--7都列出来。

1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

发现的规律是，每次将二进制串的从右往左数的第1个前面为0的1往左移一位。

这个1右边的1全部靠后。  其实想想也很容易可以想出答案：既然我要移动1的位置了，那肯定是高位拉 ， 那我后面的1就是反正最后咯，这样才可以是理论上的最小;

a[i]表示的是第i个1的位置，初始值为(按阳历来说)第一个1的位置是1，第二个

1的位置是2，第三个1的位置是3.二进制也就是1 1 1 。

能移动的条件是，当前1的位置+1不等于

下一个1的位置，也就是前面是空的。然后就这样啊....

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,k,j;
int a[13];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)a[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        j=1;
        while(1){
            a[j]++;
            if(a[j]!=a[j+1])break;
            a[j]=j;
            j++;
        }
    }
    j=k;
    for(int i=a[k];i>=1;i--){
        if(a[j]==i)printf("1"),j--;
        else printf("0");
    }
    return 0;
}

 

组合数学法：(摘取一片博客 ， 我还不是很qq理解)

一个只有0和1的数字串，只有1对数字串大小有影响，0没有影响，大小取决于1的位置和数量。

因为题目中要求出第n个编号是什么，并且这道题有一个限制：第一位必须是0，那么我们先将这个串用足够大小保存，足够大的话我们可以添加前导0，到最后从第一个非0位输出即可，也就是说我们要找到一个m,使得C(m,k) >= n，可以二分求m。

当k=1直接特判掉。

从大到小确定每一位。

如果做到第i位，之前已经填了j个1，那么这一位填0的方案数就是C(i-1,k-j)，即还剩i-1位可以填k-j个1的方案数。

如果这个数小于n，那么这一位填1，并且n要减去这个数，否则这一位填0。

不过这个组合数会非常大，还会爆long long,需要分类讨论进行二分求m.一定要注意这点，第一次提交就在这里wa的QwQ

时间复杂度O(sqrt(n)k)

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 10000010;
long long n , k , m;
long long num[maxn] , cnt;
long long mid , l , r;
long long zuhe(int x , int y)
{
    long long k = 1;
    for(int i = x;i > x - y;i --)
    {
        k *= i;
    }
    for(int i = y;i > 1;i --)
    {
        k /= i;
    }
    return k;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld" , &n , &k);
    if(k == 1)
    {
        for(int i = n;i > 0;i --)
        {
            if(i == n)
            {
                printf("1");
            }
            else printf("0");
        }
        puts("");
        return 0;
    }
    else {
//分类讨论二分求m
        if(k == 10)
        {
            l = 1;
            r = 600;
            while(l <= r)
            {
                mid = (l + r) / 2;
                if(zuhe(mid , k) >= n)
                {
                    m = mid;
                    r = mid - 1;
                }
                else {
                    l = mid + 1;
                }
            }
        }
        else {
            if(k >= 7)
            {
                l = 1;
                r = 1000;
                while(l <= r)
                {
                    mid = (l + r) / 2;
                    if(zuhe(mid , k) >= n)
                    {
                        m = mid;
                        r = mid - 1;
                    }
                    else {
                        l = mid + 1;
                    }
                }
            }
            else {
                l = 1;
                r = 7000;
                while(l <= r)
                {
                    mid = (l + r) / 2;
                    if(zuhe(mid , k) >= n)
                    {
                        m = mid;
                        r = mid - 1;
                    }
                    else {
                        l = mid + 1;
                    }
                }
            }
        }
        for(int i = m;i > 0;i --)
        {
            long long t = zuhe(i - 1 , k);
            if(t < n)
            {
                num[i] = 1;
                n -= t;
                k --;
                if(!cnt)
                {
                    cnt = i;
                }
            }
            if(!k || !n)
            {
                break;
            }
        }
        for(long long i = cnt;i > 0;i --)
        {
            printf("%d" , num[i]);
        }
    }
   puts("");
    return 0;
}

 

动态规划：

太菜了没有想到组合数

我们也医用数位dp去做；

f[i][j] 表示在前i位我们放j个1的情况有几种

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j];

然后我们直接大力的从字符串的高位开始枚举

如果这个位子不放我们后来所有的方法都不够了那就放

#include<bits/stdc++.h>
#define Ll long long
using namespace std;
const Ll N=12,M=1e5+5;
Ll a[M],f[M][N];
Ll n,m,ok,v;
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    if(n==1){
        cout<<1;
        for(int i=1;i<m;i++)printf("0");
        return 0;
    }
    for(Ll i=0;i<=1e5;i++)f[i][0]=1;
    for(Ll i=1;i<=1e5;i++)if(!v)
        for(Ll j=1;j<=n;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
            if(j==n&&f[i][j]>=m){v=i;break;}
        }
    for(Ll i=v;i;i--){
        if(f[i-1][n]<m)
            a[i]=1,m-=f[i-1][n],n--;
        if(a[i])ok=1;
        if(ok)cout<<a[i];
    }
}

 

组合数字最快然后超神暴力然后动态规划