逆元的认知与应用——处理除数很大的时候

1.什么是逆元

当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：

设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；///b*c%m=1%m;

则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);

即a/b的模等于a*b的逆元的模；

逆元就是这样应用的.

2.求逆元的方法。

(1).费马小定理

在是素数的情况下，对任意整数都有。 
如果无法被整除，则有。 
可以在为素数的情况下求出一个数的逆元，，即为逆元。

题目中的数据范围1<=x<=10^9，p=1000000007，p是素数；

所以x肯定就无法被p整除啊，所以最后就得出x^(p-2)为x的逆元啦。

但是似乎还有个问题？如何判断a是否有逆元呢? 

检验逆元的性质，看求出的幂值x与a相乘是否为1即可

当p比较大的时候需要用快速幂求解

复杂度O(logn)；

const int mod = 1000000009;
long long qpow(long long a,long long b)
{
    if(b<0)
        return 0;
    long long res=1;
    a%=mod;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            res=(res*a)%mod;
        b >>= 1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return res;
}
long long inv(long long a)
{
   return  qpow(a,mod-2);
}

(2) 扩展欧几里得

给定模数m，求a的逆相当于求解ax=1(mod m)

这个方程可以转化为ax-my=1 
然后套用求二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd 
检查gcd是否为1 
gcd不为1则说明逆元不存在 
若为1，则调整x0到0~m-1的范围中即可

PS：这种算法效率较高，常数较小，时间复杂度为O(ln n)

可扩展欧几里得求逆元ax≡1(mod n)其中a，n互质；

ll ecgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else 
    {
        ll r=ecgcd(b,a%b,x,y);
        ll temp=x;
        x=y;
        y=y-a/b*temp;
        return r;
    }
}
ll inv(ll a,ll n)
{
    ll x,y;
    exgcd(a,n,x,y);
    x = (x%n+n)%n;
    return x;
}

（3）逆元打表法

有时会遇到这样一种问题，在模质数p下，求1~n逆元 n< p（这里为奇质数）。可以O(n)求出所有逆元，有一个递推式如下

                   

它的推导过程如下，设，那么

       

对上式两边同时除，进一步得到

       

再把和替换掉，最终得到

       

初始化，这样就可以通过递推法求出1->n模奇素数的所有逆元了。

另外有个结论模的所有逆元值对应中所有的数，比如，那么对应的逆元是。

const int n=le5+5;
int inv[n];
void inverse(int n,int p)
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2 ; i<=n ;i++)
    {
        inv[i]=(ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
    }
}

补充习题练手处：https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787