hdu Minimum Inversion Number（逆序数的小知识与线段树）

飞！

题解

首先，求逆序数对的思路：

1.得到整个数列后，从前往后扫，统计比a[i]小的，在a[i]后面的有多少个

这样做的话，应该是只有n2的暴力作法，没想到更好的方法

2.统计a[i]前面的，且比它大的数

这样做的话，就可以利用输入的时效性，每输入一个数，就把这个数的num[i]值加1，

然后统计比这个数大的数的num和,

因为这里的和一定是在这个数列中比a[i]大，且在它前面出现的数之和，

然后把把这个和加到总逆序数sum里。

这样做的话直接的暴力作法依然是n2，但是，

我们可以在，统计比这个数大的数的num和这一步进行优化，利用线段树求区间域值的复杂度是logn，

所以总体复杂度就降到了nlogn。

 

再来看这道题，求得初始数列的逆序数后，再求其他排列的逆序数有一个规律，就是

sum = sum + (n - 1 - a[i]) - a[i];

这个自行验证吧，相信很容易得出

 

最后，拓展一下，如果要求正序数怎么办？很简单，无非是大小调一下

再问，如果要求满足i<j<k,且a[i]>a[j]>a[k]的数对总数怎么办？

 

可以从中间的这个数入手，统计a[i]>a[j]的对数m，以及a[j]>a[k]的对数n，m*n就是。。。

要求a[i]>a[j]的个数还是一样的，那么a[j]>a[k]的个数呢？

两种思路：

1.得到a[i]>a[j]的对数后，将数列倒过来后再求a[j]<a[k]的对数

2.更简单的做法是，找到规律发现，n = 整个数列中比a[j]小的数 — 在a[j]前面已经出现的比a[j]小的数的个数

即（假设数列是从1开始的） n = (a[j] -1) - (j - 1 - m )

 

如果不理解模拟一边就明白了。

AC代码：

#include <cstdio>

#include <algorithm>

using namespace std;

 

#define lson l , m , rt << 1

#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

const int maxn = 5555;

int sum[maxn<<2];

void PushUP(int rt) {

         sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

}

void build(int l,int r,int rt) {

         sum[rt] = 0;

         if (l == r) return ;

         int m = (l + r) >> 1;

         build(lson);

         build(rson);

}

void update(int p,int l,int r,int rt) {

         if (l == r) {

                 sum[rt] ++;

                 return ;

         }

         int m = (l + r) >> 1;

         if (p <= m) update(p , lson);

         else update(p , rson);

         PushUP(rt);

}

int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {

         if (L <= l && r <= R) {

                 return sum[rt];

         }

         int m = (l + r) >> 1;

         int ret = 0;

         if (L <= m) ret += query(L , R , lson);

         if (R > m) ret += query(L , R , rson);

         return ret;

}

int x[maxn];

int main() {

         int n;

         while (~scanf("%d",&n)) {

                 build(0 , n - 1 , 1);

                 int sum = 0;

                 for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

                          scanf("%d",&x[i]);

                          sum += query(x[i] , n - 1 , 0 , n - 1 , 1);

                          update(x[i] , 0 , n - 1 , 1);

                 }

                 int ret = sum;

                 for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

                          sum += n - x[i] - x[i] - 1;

                          ret = min(ret , sum);

                 }

                 printf("%d
",ret);

         }

         return 0;

}