POJ 3734 Blocks（矩阵快速幂+矩阵递推式）

题意：个n个方块涂色， 只能涂红黄蓝绿四种颜色，求最终红色和绿色都为偶数的方案数。

该题我们可以想到一个递推式 。   设a[i]表示到第i个方块为止红绿是偶数的方案数， b[i]为红绿恰有一个是偶数的方案数， c[i]表示红绿都是奇数的方案数。

那么有如下递推可能：

递推a[i+1]：1.到第i个为止都是偶数，且第i+1个染成蓝或黄；2.到第i个为止红绿恰有一个是奇数，并且第i+1个方块染成了奇数对应的颜色。

递推b[i+1]：1.到第i个为止都是偶数，且第i+1个染成红或绿；2.到第i个为止红绿恰有一个是奇数，并且第i+1个方块染成了蓝或黄；3.到第i个方块为止红火绿都是奇数，并且第i+1个染成红火绿。

递推c[i+1]：1.到第i个为止红绿恰有一个是奇数， 并且第i+1个方块染成偶数对应的颜色；2.到第i个为止红绿都是奇数，并且第i+1个方块染成蓝或黄。

即a[i+1] = 2*a[i] + b[i];

    b[i+1] = 2*a[i] + 2*b[i] + 2*c[i];

    c[i+1] = b[i] + 2*c[i];

因为DP的过程中，每一步都是在重复上一个过程， 所以可以用矩阵相乘来优化算法。

将上述递推式写成矩阵相乘的形式：

{ a[i] }      {2  1  0}^i{a[0] }

{ b[i] }  = {2  2  2}   {b[0] }

{ c[i] }     {0  1  2}   {c[0] }

然后用矩阵快速幂就可以了。

AC代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define mod 10007
struct Mat
{
    long long  mat[3][3];
};

Mat operator * (Mat a,Mat b)
{
    int n=3;
    Mat c;
    c.mat[2][2]=c.mat[2][0]=c.mat[2][1]=c.mat[0][0]=c.mat[0][1]=c.mat[0][2]=c.mat[1][0]=c.mat[1][1]=c.mat[1][2]=0;
    int i,j,k;
    for(k =0 ; k < n ; k++)
    {
        for(i = 0 ; i < n ;i++)
        {
            if(a.mat[i][k]==0) continue;//优化
            for(j = 0 ;j < n ;j++)
            {
                if(b.mat[k][j]==0) continue;//优化
                c.mat[i][j] = (c.mat[i][j]+(a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
Mat operator ^(Mat a,int k)
{
    int n=3;
    Mat c;
    int i,j;
    for(i =0 ; i < n ;i++)
        for(j = 0; j < n ;j++)
        c.mat[i][j] = (i==j);
    for(; k ;k >>= 1)
    {
        if(k&1) c = c*a;
        a = a*a;
    }
    return c;
}
int main( )
{
    long long n;
    int t;
   scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        Mat A;
        A.mat[0][0]=2;A.mat[0][1]=1;A.mat[0][2]=0;
        A.mat[1][0]=2;A.mat[1][1]=2;A.mat[1][2]=2;
        A.mat[2][0]=0;A.mat[2][1]=1;A.mat[2][2]=2;
        Mat ans=A^n;
        printf("%lld
",ans.mat[0][0]);
    }
    return 0;
}