面试题47-礼物的最大价值（Python版）

题目描述：

在一个 m*n 的棋盘中的每一个格都放一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于0）.你可以从棋盘的左上角开始拿各种里的礼物，并每次向右或者向下移动一格，直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及上面个的礼物，请计算你最多能拿走多少价值的礼物？

 题目分析：

使用递归思路分析，定义f(i,j)表示到达坐标为（i,j）的格子能拿到礼物总和的最大值。则有两种可能的途径，从左边（i,j-1）到达(i,j),从上面(i-1,j)到达(i,j)。

f(i,j)=max(f(i,j-1)+f(i-1,j))+g(i,j) g(i,j)表示坐标为（i，j）的格子里礼物的价值

递归求解，会有大量的重复计算，通过递归分析，使用从下到上的循环求解（本题倒着分析，正着求解）

解法1：使用与原始数组相同大小的数组存储中间结果（中间变量：找相邻从上或从下最大的礼物价值）

1	11	14	22
13	15	24	30
18	25	29	41
21	32	48	53

import numpy as np
def getmaxGift(values,rows,cols):
    midvars=np.zeros((4,4)) #使用一个二维矩阵存放中间变量
    for r in range(rows):
        for c in range(cols):
            left = 0
            up=0
            if r>0:
                up = midvars[(r-1)][c]
            if c>0:
                left = midvars[r][c-1]
            midvars[r][c] = max(up,left)+values[r*cols+c]
    print(midvars)
    return midvars[rows-1][cols-1]
if __name__ == '__main__':
    values=[1,10,3,8,12,2,9,6,5,7,4,11,3,7,16,5]
    print(getmaxGift(values,4,4))

结果：

[[ 1. 11. 14. 22.]
[13. 15. 24. 30.]
[18. 25. 29. 41.]
[21. 32. 48. 53.]]
53.0

解法2：

找最大价值53，只和48,41有关，找48，只和32,29有关，所以设置一个和列数相同的一维数组，不断的更新一维数组，存储由上和左得到的当前最大值

def getmaxGift2(values,rows,cols):
    vars=[0]*cols
    for r in range(rows):
        for c in range(cols):
            left=0
            up = 0
            if r>0:
                up=vars[c]
            if c>0:
                left=vars[c-1]
            vars[c]= max(up,left)+values[r*cols+c]
        print('每一轮vars的变化')
        print(vars)
    return vars[-1]
if __name__ == '__main__':
    values=[1,10,3,8,12,2,9,6,5,7,4,11,3,7,16,5]
    print(getmaxGift2(values,4,4))

结果：

 note：

特殊值处理：在函数开始加上如下代码即可

 if not values or rows<0 or cols<0:

2     return 0 

 参考：

1.何海涛. 剑指Offer.第2版[M]. 电子工业出版社, 2014.

2.https://blog.csdn.net/dugudaibo/article/details/79678890