二分搜索法整理

参考：

https://www.cnblogs.com/grandyang/p/6854825.html  （二分搜索小结）

二分查找法作为一种常见的查找方法，将原本是线性时间提升到了对数时间范围，大大缩短了搜索时间，具有很大的应用场景，而在LeetCode中，要运用二分搜索法来解的题目也有很多，但是实际上二分查找法的查找目标有很多种，而且在细节写法也有一些变化。

第一类： 需查找和目标值完全相等的数

这是最简单的一类，也是我们最开始学二分查找法需要解决的问题，比如我们有数组[2, 4, 5, 6, 9]，target = 6，那么我们可以写出二分查找法的代码如下：

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) return mid;
        else if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return -1;
}

像博主的那种写法，若right初始化为了nums.size()，那么就必须用left < right，而最后的right的赋值，用哪个都可以，博主偷懒就不写-1了。但是如果我们right初始化为 nums.size() - 1，那么就必须用 left <= right，并且right的赋值要写成 right = mid - 1，不然就会出错。所以博主的建议是选择一套自己喜欢的写法，并且记住，实在不行就带简单的例子来一步一步执行，确定正确的写法也行。

第一类应用实例：

Intersection of Two Arrays

这里关于二分搜索的使用习惯有多种。为了不影响文章思路，我把另外两种的测试加上来：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

//copyright@2011 July
//随时欢迎读者找bug，email：zhoulei0907@yahoo.cn。

//首先要把握下面几个要点：
//right=n-1 => while(left <= right) => right=middle-1;
//right=n   => while(left <  right) => right=middle;
//middle的计算不能写在while循环外，否则无法得到更新。

int binary_searchIteration(int array[], int n, int value)
{
	int left = 0;
	int right = n - 1;
	
	while (left <= right)          //循环条件，适时而变
	{
		int middle = left + ((right - left) >> 1);  //防止溢出，移位也更高效。同时，每次循环都需要更新。

		if (array[middle]>value)
		{
			right = middle - 1;   //right赋值，适时而变
		}
		else if (array[middle]<value)
		{
			left = middle + 1;
		}
		else
			return middle;
	}
	return -1;
}


int binary_searchRecursion(int arr[], int low, int high, int key) {
	if (low > high) return -1;

	int mid = (high + low) / 2;   //中间元素，防止溢出
	if (key == arr[mid])return mid; //找到时返回
	else if (key > arr[mid]) {
		return binary_searchRecursion(arr, mid + 1, high, key); // 在更高的区间搜索
	}
	else {
		return binary_searchRecursion(arr, low, mid - 1, key); // 在更低的区间搜索
	}
}


int main()
{
	int arr[] = { 2, 4, 5, 6, 9 };
	cout << binary_searchIteration(arr,5, 5) << endl;
	cout << binary_searchRecursion(arr, 0,5, 2) << endl;
	getchar();
	return 0;
}

　　

第二类： 查找第一个不小于目标值的数，可变形为查找最后一个小于目标值的数

这是比较常见的一类，因为我们要查找的目标值不一定会在数组中出现，也有可能是跟目标值相等的数在数组中并不唯一，而是有多个，那么这种情况下nums[mid] == target这条判断语句就没有必要存在。比如在数组[2, 4, 5, 6, 9]中查找数字3，就会返回数字4的位置；在数组[0, 1, 1, 1, 1]中查找数字1，就会返回第一个数字1的位置。我们可以使用如下代码：

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return right;
}

最后我们需要返回的位置就是right指针指向的地方。在C++的STL中有专门的查找第一个不小于目标值的数的函数lower_bound，在博主的解法中也会时不时的用到这个函数。但是如果面试的时候人家不让使用内置函数，那么我们只能老老实实写上面这段二分查找的函数。

这一类可以轻松的变形为查找最后一个小于目标值的数，怎么变呢。我们已经找到了第一个不小于目标值的数，那么再往前退一位，返回right - 1，就是最后一个小于目标值的数。

第二类应用实例：

Heaters， Arranging Coins， Valid Perfect Square，Max Sum of Rectangle No Larger Than K，Russian Doll Envelopes

 

第二类变形应用：Valid Triangle Number

 

第三类： 查找第一个大于目标值的数，可变形为查找最后一个不大于目标值的数

这一类也比较常见，尤其是查找第一个大于目标值的数，在C++的STL也有专门的函数upper_bound，这里跟上面的那种情况的写法上很相似，只需要添加一个等号，将之前的 nums[mid] < target 变成 nums[mid] <= target，就这一个小小的变化，其实直接就改变了搜索的方向，使得在数组中有很多跟目标值相同的数字存在的情况下，返回最后一个相同的数字的下一个位置。比如在数组[2, 4, 5, 6, 9]中查找数字3，还是返回数字4的位置，这跟上面那查找方式返回的结果相同，因为数字4在此数组中既是第一个不小于目标值3的数，也是第一个大于目标值3的数，所以make sense；在数组[0, 1, 1, 1, 1]中查找数字1，就会返回坐标5，通过对比返回的坐标和数组的长度，我们就知道是否存在这样一个大于目标值的数。参见下面的代码：

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] <= target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return right;
}

这一类可以轻松的变形为查找最后一个不大于目标值的数，怎么变呢。我们已经找到了第一个大于目标值的数，那么再往前退一位，返回right - 1，就是最后一个不大于目标值的数。比如在数组[0, 1, 1, 1, 1]中查找数字1，就会返回最后一个数字1的位置4，这在有些情况下是需要这么做的。

第三类应用实例：

Kth Smallest Element in a Sorted Matrix

第三类变形应用示例：

Sqrt(x)

第四类： 用子函数当作判断关系

这是最令博主头疼的一类，而且通常情况下都很难。因为这里在二分查找法重要的比较大小的地方使用到了子函数，并不是之前三类中简单的数字大小的比较，比如Split Array Largest Sum那道题中的解法一，就是根据是否能分割数组来确定下一步搜索的范围。类似的还有Guess Number Higher or Lower这道题，是根据给定函数guess的返回值情况来确定搜索的范围。对于这类题目，博主也很无奈，遇到了只能自求多福了。

第四类应用实例：

Split Array Largest Sum， Guess Number Higher or Lower，Find K Closest Elements，Find K-th Smallest Pair Distance，Kth Smallest Number in Multiplication Table，Maximum Average Subarray II，Minimize Max Distance to Gas Station，Swim in Rising Water

综上所述，博主大致将二分搜索法的应用场景分成了主要这四类，其中第二类和第三类还有各自的扩展。根据目前博主的经验来看，第二类和第三类的应用场景最多，也是最重要的两类。第一类和第四类较少，其中第一类最简单，第四类最难，遇到这类，博主也没啥好建议，多多练习吧～