小球自由落体动态模拟（Position Based Simulation）

　　在过去的几十年中，基于物理的三维物体动态模拟成为了计算机图形学的研究热点，其中最常见的方法是基于力（force-based）的模拟方法，比如弹簧质点模型（http://www.cnblogs.com/shushen/p/5473264.html），它把物体抽象成一系列质点以及连接这些质点的弹簧，然后通过离散化牛顿运动定律来模拟物体的运动情况。最近，基于位置的模拟方法在刚体、弹性体以及流体模拟方面都取得了不错的效果，基于位置（position-based）的模拟方法虽然没有基于力的模拟方法计算准确，但是它计算快速稳定，使其适用于实时交互应用领域。下面将详细介绍基于位置模拟算法的主要原理。

　　基于位置的模拟方法将研究物体抽象成N个粒子和M个限制条件的集合，整个算法流程如上图所示。首先初始化每个粒子的位置x_i⁰和速度v_i⁰（第1-3行），然后对于时间步长Δt而言，通过欧拉积分方法得到粒子下一时刻新的位置（第5-6行），新的位置p_i并不是下一时刻的最终位置，而是下一时刻的预测位置，接着生成限制条件（第7行），并通过迭代方法不断修正预测位置p_i使其满足限制条件（第8-10行），最后利用修正后的预测位置更新下一时刻的最终位置x_i和速度v_i（第11-14行）。

　　假设限制条件：C(x) = 0，一阶泰勒展开得到：，于是位置修正量为：。

　　一种最简单的限制条件是距离限制，以两个粒子为例，其距离限制函数为：

　　那么距离限制函数对各自的位置导数分别为：

其中。

　　于是可以得到粒子的位置修正量为：

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参考文献：

[1] Bender, Jan, et al. "A Survey on Position-Based Simulation Methods in Computer Graphics." Computer Graphics Forum 33.6 (2014): 228-251.