题面
https://www.luogu.org/problem/P5516?contestId=20135
先说一下我在考场做的情况。
首先，大体方向掌握的很好：只对指定的颜色分析由它“统一”的概率和它“统一”的期望次数。
期望次数我是用矩阵快速幂逼近的。
用游走的模型，每个点向左右两个点连边，终点只向自己连边。
得到一个邻接矩阵$M$，初始时的一个列向量$P=[0,0,...,0,1,0,...,0]$，代表初始时每个点上的人数期望，因为总共只有$1$个人，所以期望即概率，也代表初始时这个人在每个点的概率。
把这个列向量乘上邻接矩阵$M$视为一次变换，我们求的就是$sum_{i=1}^{INF}{(P_n[i]-P_n[i-1]) imes i}$，这个式子因为带了$i$，所以显然是不能用矩阵快速幂求的，
我们把这个式子展开，即求$kP_n[k]-p_n[k-1]-p_n[k-2]...-p_n[1]$，这个式子我们就可以用快速幂求了，把向量加上一行，矩阵加上一列，代表当前$P_n[i]$的前缀和，这样就可以转移了。
这样我们就把期望次数求出来了，复杂度$O(n^3logn)$，是一个超时的方法，但是注意到超的不是很严重，并且它的询问都是一样的，所以可以打表预处理，变成$O(1)$。（大雾）
如果用极限的思想解决，或许可以做到$O(n^3)$，可以想到到最后$P[1]...P[n-1]$都是$0$，只有$P[n]$是$1$，但是我们加的那一列的答案就不好求了，上网搜查了矩阵求极限的方法，应该不属于$OI$的范畴了，所以就到这里了。
由一个指定颜色“统一”的概率，我的想法是这样的，期望长度的倒数比即为概率之比，但是这个结论显然是错误的，我也不知道是跟哪个大佬学的。所以这道题就不好做了。。。。
题解的思路解决下面两个问题的思路和我不同。
概率部分，是一个简洁而优美的结论，$$p[i] = frac{i}{n}$$，题解上是这么说的，因为这次操作有${2i(n-i)} over {n(n-1)}$的概率使得$i$变化，有${i(n-i)} over {n(n-1)}$的概率使得$i-1$，有${i(n-i)} over {n(n-1)}$使得$i+1$，所以有$frac{2i(n-i)}{n(n-1)}p[i] = frac{i(n-i)}{n(n-1)}p[i-1]+frac{i(n-i)}{n(n-1)}p[i+1]$，化简得$p[i]=frac{1}{2}(p[i-1]+p[i+1])$，所以$p[i]$是等差数列。
但是我有个地方不明白，为什么不是$p[i]=frac{i(n-i)}{n(n-1)} p[i-1]+frac{i(n-i)}{n(n-1)} p[i+1]+frac{n(n-1)-2i(n-i)}{n(n-1)}p[i]$呢？
经过漫长的思考~~我好像明白了，概率的状态空间大概长成这么个样子：我们有一颗树，根节点是$i$，问这棵树上有多少个叶子，是由$i$长大变成$n$形成的。
但是统计这个东西是没有意义的，因为肯定是无数个，总数也是无数个，这个对我们求答案是没有帮助的。
应该统计这棵树上变成“n”的叶子和叶子的总数的比值是多少。
明确一点，任意一个状态，经过无数次确定的操作之后，肯定会变成一个叶子。
当前的节点相当于把叶子分成了三份，一份给$i+1$，叶子数占总叶子数的${i(n-i)} over {n(n-1)}$，一份给$i-1$，叶子数占总叶子数的${i(n-i)} over {n(n-1)}$，最后一份给$i$，叶子数占总叶子数的${n(n-1)-2i(n-i)} over {n(n-1)}$，其中，因为最后一份子树的比值，也是总子树的比值，所以再算加权平均的时候就可以去掉了。
如果按我刚刚的式子，算出来的大概是所有的$i$状态的节点占总节点的个数，有点混乱，不是我想要的。
突然发现可能用“叶子”这个词不太恰当，因为此“树”非彼“树”，应该换成确定的结果。
再来算期望，期望也跟我算的不一样，我真是太弱了。。。。
$f_i$表示一个当前有$i$个地方被涂上了颜色，如果它“统一”了，期望步数是多少。
算期望步数，（写到这里我发现我上面逻辑错乱了，就是应该先概率再期望的，可能上面的都是错的啊，求别$D$我）首先要知道这个状态到达终点的概率，还是刚才那个模型，只有有用的叶子节点才会被统计到期望里，所以每个子树在分叉的时候要乘一个系数，在最后的叶子也要乘一个系数，所以，有$$
left{egin{matrix}
{f_i=a(f_{i-1}+1)+b(f_{i}+1)+c(f_{i+1}+1)} hfill \
{a+b+c=1} hfill \
{a:b:c=frac{i-1}{3i} frac{i(n-i)}{n(n-1)}:frac{i}{3i} frac{n(n-1)-2i(n-i)}{n(n-1)}:frac{i+1}{3i} frac{i(n-i)}{n(n-1)}} hfill
end{matrix}
ight.
$$
解得
$$f_i=frac{n(n-1)}{2i(n-i)}+frac{i-1}{2i}f_{i-1}+frac{i+1}{2i}f_{i+1}$$
最后所谓“线性高斯消元”就是先帮他消好，然后直接让他算就行了。（思维不能僵化啊）