prufer序列

$prufer$ 序列

　　突然想起来自己还学过这么一个东西...

定义

　　长度为 $n-2$ 的 $prufer$ 序列可以和 $n$ 个节点的有标号无根树形成一一映射；

构建方法

　　每次删去当前编号最小的叶子 $x$，并在序列末尾加入与 $x$ 相连的点的编号；

还原方法

　　1.找出1至n中没有在序列中出现的最小数 $x$。连接 $x$ 与序列首项，以后找最小值时不再考虑$x$，同时删去序列的首项。

　　2.重复上述步骤，直到序列用尽；

　　3.连接那两个没有作为最小值出现过的点；

一些性质

　　1.对于一个度数为$x$的点，要删去$x-1$个它的相邻点后它才会被删去，所以它在prufer序列中出现的次数就是 $x-1$;

　　2.n个点的带标号无根树一共有$n^{n-2}$种；

　　3.对于有根树，在无根树的基础上再枚举一个根就好了，所以共有 $n^{n-1}$ 种；

几个例题

　　树的计数：https://www.luogu.org/problem/P2290

　　题意概述：已知每个点的度数，求有多少种满足条件的树；

　　根据性质1，已经知道了每个点在prufer序列中的出现次数，接下来只要求一个可重排列就好了。

　　$frac{(n-2)!}{prod(d_i-1)!}$

　　

# include <cstdio>
# include <iostream>
# define R register int

using namespace std;

const int N=160;
int n,s;
int d[N];
int v[N];

void add (int x,int a)
{
    for (R i=2;i<=x;++i)
        while(x%i==0) v[i]+=a,x/=i;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (R i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&d[i]);
        if(n!=1&&d[i]==0)
        {
            printf("0");
            return 0;
        }
        s+=d[i];
    }
    if(s!=2*(n-1)) { printf("0"); return 0; }
    for (R i=1;i<=n-2;++i) add(i,1);
    for (R i=1;i<=n;++i)
        for (R j=1;j<=d[i]-1;++j)
            add(j,-1);
    long long ans=1;
    for (R i=1;i<=n;++i)
        for (R j=1;j<=v[i];++j)
            ans=ans*i;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

　　明明的烦恼：https://www.luogu.org/problem/P2624

　　题意概述：有的点知道了度数，有的点不清楚，求有多少种满足条件的树；

　　设有 $k$ 个点知道了度数，$n-k$个点不知道， $s$ 为所有已知度数的点出现的次数和。首先在 $n-2$ 个位置中找出 $s$ 个位置来填这些数，未确定的数可以随便填，所以答案就是：

　　$inom{n-2}{s}frac{s!}{prod(d_i-1)!}(n-k)^{n-2-s}$

　　

// luogu-judger-enable-o2
# include <cstdio>
# include <iostream>
# define R register int

using namespace std;

const int N=1005;
int n,s,cnt;
int v[N],d[N];
int ans[100*N];

void add (int x,int a)
{
    for (R i=2;i<=x;++i)
        while(x%i==0) x/=i,v[i]+=a;
}

void write()
{
    for (R i=ans[0];i;i--)
        printf("%d",ans[i]);
}


void mul (int x)
{
       for (R i=1;i<=ans[0];++i) ans[i]*=x;
    for (R i=1;i<=ans[0]+5;++i)
    {
        ans[i+1]+=ans[i]/10;
        ans[i]%=10;
    }
    ans[0]+=5;
    while(ans[ ans[0] ]==0&&ans[0]) ans[0]--;    
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (R i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&d[i]);
        if(n==1)
        {
            if(d[1]==0) { printf("1"); return 0; }
            else { printf("0"); return 0; }
        }
        if(d[i]==0&&n!=1) { printf("0"); return 0; }
        if(d[i]!=-1) s+=d[i];
        else cnt++;
    }
    if(cnt+s>2*(n-1)) { printf("0"); return 0; }
    s=0; for (R i=1;i<=n;++i) if(d[i]!=-1) s+=d[i]-1;
    for (R i=2;i<=n-2;++i) add(i,1);
    for (R i=2;i<=n-2-s;++i) add(i,-1);
    for (R i=1;i<=n;++i)
    {
        if(d[i]==-1) continue;
        for (R j=2;j<=d[i]-1;++j) add(j,-1);
    }
    ans[0]=1; ans[1]=1;
    for (R i=2;i<=n;++i)
        for (R j=1;j<=v[i];++j)
            mul(i);
    for (R i=1;i<=n-2-s;++i)
        mul(cnt);
    write();
    return 0;
}

　　数树：https://www.luogu.org/problem/P5206

　　先咕着，我就不信NOIP考这题。

---shzr