倍增$ST$表
预处理复杂度 $O(n log n)$
单次查询复杂度 $O(log n)$
$RMQ$倍增的思想。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; inline int read() { int f=1,ans=0;char c; while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-'0';c=getchar();} return ans*f; } int q,a[500001],fa[500001][21]; struct node{ int x;int y; int nex; }ss[1000001]; int head[500001]; int cnt=1; void add(int a,int b) { ss[cnt].x=a,ss[cnt].y=b; ss[cnt].nex=head[a],head[a]=cnt++; return; } int deep[500001]; void dfs(int f,int fath) { deep[f]=deep[fath]+1; // minn[f][0]=min(a[f],a[fath]); fa[f][0]=fath; for(int i=1;(1<<i)<=deep[f];i++) fa[f][i]=fa[fa[f][i-1]][i-1]; for(int i=head[f];i!=-1;i=ss[i].nex) if(ss[i].y!=fath) dfs(ss[i].y,f); } int n,m,s; int lca(int u,int v) { if(deep[u]<deep[v]) swap(u,v); for(int i=20;i>=0;i--) if(deep[u]-(1<<i)>=deep[v]) u=fa[u][i]; if(u==v) return u; for(int i=20;i>=0;i--) { if(fa[u][i]==fa[v][i]) continue; else u=fa[u][i],v=fa[v][i]; } return fa[u][0]; } int main() { memset(head,-1,sizeof(head)); n=read(),m=read(),s=read(); for(int i=1;i<n;i++) { int u=read(),v=read(); add(u,v),add(v,u); } dfs(s,0); for(int i=1;i<=m;i++) { int u=read(),v=read(); printf("%d ",lca(u,v)); } }/* 5 5 4 3 1 2 4 5 1 1 4 3 5 1 2 4 5*/
$Tarjan$算法
离线操作，总复杂度约$O(n+q)$
主要就是若要求两点之间$lca$，思想是$lca(u,v)$封锁了这两颗子树，记录一下当前节点是否回溯过，同时用并查集维护一下当前父亲。
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; inline int read(){ int f=1,ans=0;char c=getchar(); while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-'0';c=getchar();} return f*ans; } const int N=40001; const int Q=201; struct node{ int u,v,w,nex; }x[N<<1]; struct Node{ int u,v,id,nex; }query[Q<<1]; int head1[N],head[N],cnt1,cnt,T; void add(int u,int v,int w){ x[cnt].u=u,x[cnt].v=v,x[cnt].w=w,x[cnt].nex=head[u],head[u]=cnt++; } void Add(int u,int v,int id){ query[cnt1].u=u,query[cnt1].v=v,query[cnt1].id=id,query[cnt1].nex=head1[u],head1[u]=cnt1++; } int calc[Q],vis[N],fa[N]; void init(){memset(head,-1,sizeof(head)),memset(head1,-1,sizeof(head1)),cnt=0,cnt1=0,memset(vis,0,sizeof(vis));} int find(int x){ if(fa[x]==x) return x; return fa[x]=find(fa[x]); } int dis[N]; void dfs(int f,int fath){ for(int i=head[f];i!=-1;i=x[i].nex){ if(x[i].v==fath) continue; dis[x[i].v]=dis[f]+x[i].w; dfs(x[i].v,f); fa[x[i].v]=f; } for(int i=head1[f];i!=-1;i=query[i].nex){ int u=query[i].u,v=query[i].v,id=query[i].id; if(vis[v]){ int lca=find(v); calc[id]=(dis[u]+dis[v])-2*dis[lca]; } }vis[f]=1; } int main(){ T=read(); while(T--){ init(); int n=read(),q=read(); for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; for(int i=1;i<n;i++){int u=read(),v=read(),w=read();add(u,v,w),add(v,u,w);} for(int i=1;i<=q;i++){int u=read(),v=read();Add(u,v,i),Add(v,u,i);} dfs(1,0); for(int i=1;i<=q;i++) printf("%d ",calc[i]); } }
欧拉序列
预处理复杂度 $O(n log n)$
单次查询复杂度 $O(1)$
与普通欧拉序不同，当每进入一个节点中，我们就将其编号记下，并且$lca(u,v)$是从$u$到$v$简单路径下深度最浅的点，就可以用$RMQ$维护即可。
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; inline int read(){ int f=1,ans=0;char c=getchar(); while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-'0';c=getchar();} return f*ans; } const int N=1000001; int deep[N],n,root,cnt,st[N][21],num,in[N],out[N],head[N],q; struct node{ int u,v,nex; }x[N<<1]; void add(int u,int v){ x[cnt].u=u,x[cnt].v=v,x[cnt].nex=head[u],head[u]=cnt++; } void dfs(int f,int fath){ in[f]=++num,deep[f]=deep[fath]+1; st[num][0]=f; for(int i=head[f];i!=-1;i=x[i].nex){ if(x[i].v==fath) continue; dfs(x[i].v,f); st[++num][0]=f; } } void init(){ for(int j=1;j<=log2(num);j++) for(int i=1;i+(1<<j)<=num;i++){ int s1=st[i][j-1],s2=st[i+(1<<(j-1))][j-1]; if(deep[s1]<deep[s2]) st[i][j]=st[i][j-1]; else st[i][j]=st[i+(1<<(j-1))][j-1]; } } int query(int u,int v){ int l=in[u],r=in[v]; if(l>r) swap(l,r); int k=log2(r-l+1); int s1=st[l][k],s2=st[r-(1<<k)+1][k]; if(deep[s1]<deep[s2]) return s1; return s2; } int main(){ // freopen("3.in","r",stdin); memset(head,-1,sizeof(head)); n=read(),q=read(),root=read(); for(int i=1;i<n;i++){int u=read(),v=read();add(u,v),add(v,u);} dfs(root,0); init(); while(q--){ int u=read(),v=read(); printf("%d ",query(u,v)); } }
树链剖分
预处理复杂度 $O(n log n)$
单次查询复杂度 $O(log n)$
处理好轻重边后两点往上跳，一直到两点在一条重链上，深度最短的即为$lca$
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<climits> using namespace std; inline int read(){ int f=1,ans=0;char c=getchar(); while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-'0';c=getchar();} return f*ans; } const int N=500001; int n,q,rt,size[N],cnt,deep[N],top[N],son[N],fa[N],head[N]; struct node{ int u,v,nex; }x[N<<1]; void add(int u,int v){ x[cnt].u=u,x[cnt].v=v,x[cnt].nex=head[u],head[u]=cnt++; } struct LCA{ void dfs1(int f,int fath){ fa[f]=fath; size[f]=1;deep[f]=deep[fath]+1; for(int i=head[f];i!=-1;i=x[i].nex){ if(x[i].v==fath) continue; dfs1(x[i].v,f); size[f]+=size[x[i].v]; if(size[son[f]]<size[x[i].v]) son[f]=x[i].v; }return; } void dfs2(int f,int fath){ if(son[f]){ top[son[f]]=top[f]; dfs2(son[f],f); } for(int i=head[f];i!=-1;i=x[i].nex){ if(x[i].v==fath||x[i].v==son[f]) continue; top[x[i].v]=x[i].v; dfs2(x[i].v,f); } } int lca(int x,int y){ int fx=top[x],fy=top[y]; while(fx!=fy){ if(deep[fx]<deep[fy]) swap(x,y),swap(fx,fy); x=fa[fx],fx=top[x]; } if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y); return x; } }Q; int main(){ memset(head,-1,sizeof(head)); n=read(),q=read(),rt=read(); for(int i=1;i<n;i++){ int u=read(),v=read(); add(u,v),add(v,u); } Q.dfs1(rt,0),top[rt]=rt,Q.dfs2(rt,0); for(int i=1;i<=q;i++){ int u=read(),v=read(); printf("%d ",Q.lca(u,v)); } }