AGC006F Balckout
题意
给定一个 $ncdot n$ 的网格图，有些格子为黑。如果 $(x,y),(y,z)$ 均为黑，则 $(z,x)$ 也为黑，求最终黑色点的个数。
$1leq n,mleq 10^5$
题解
该题解主要证明其他博客上很显然的结论。。。
很容易想到若存在 $(x,y)$ 则建图 $x ightarrow y$ 。
考虑一个弱联通图的情况，而整图的情况可以看成弱联通图的相加。
由于操作可以分为 $y$ ，指向 $y$ 的与被 $y$ 指的，有三种情况，考虑对该图三染色，即若有 $x ightarrow y$ 那么 $col_y=col_x+1mod 3$ ，注意图是弱联通。
那么会发生一下三种情况之一。
- 不存在三染色，即存在一条边满足 $col_y
eq col_x+1mod 3$
- 存在三染色，但仅用一/两种颜色
- 存在三染色，且三种颜色均用了
先考虑情况 $2$ 和 $3$ ，最后考虑情况 $1$ 。
情况二
结论：黑色点的个数等于原先边的个数。
若图只能用 $1/2$ 种颜色那么肯定不会存在 $x ightarrow y,y ightarrow z$ 的边，那么不会产生新的边，即不会有新的黑点产生。
情况三
结论：我们设 $c_{0/1/2}$ 分别表示 $col=0/1/2$ 的个数，那么黑点个数为 $c_0c_1+c_1c_2+c_2c_0$ ，即集合按照 $0/1/2$ 顺序连边。
如果图能被三染色那么肯定存在一条链 $u ightarrow v ightarrow w$ 满足 $col_u=0,col_v=1,col_w=2$ 。
显然这三个点肯定满足上述结论。
考虑归纳构造，若当前图 $G$ 满足构造，新加入一条边 $u ightarrow p$ 。（由于 $u,v,w$ 等价故我们仅用考虑 $u$ 的情况）
定义 ${0/1/2}$ 表示 $col=0/1/2$ 点的集合。
由于 ${2} ightarrow u,u ightarrow p$ ，那么 $p ightarrow{2}$ 。
由于 $p ightarrow {2},{2} ightarrow {0}$ ，那么 ${0} ightarrow p$ 。
可以发现无法存在其余边的出现，得证。
如果 $p ightarrow u$ 类似，这里不在阐述。
情况一
结论：黑点个数为所在弱联通块点的个数的平方。
先去考虑一个子问题，由于三染色过程形成的是一个 $dfs$ 树，而若存在矛盾仅能为返祖边，那么我们肯定能将其若联通块进行三染色并且会附赠一些矛盾的边。
若先不考虑矛盾的边那么依据情况三我们已经得到一个 ${0} ightarrow {1},{1} ightarrow {2},{2} ightarrow {0}$ 的边集。
解决当前问题的小结论
先去证明一个更小的结论，若在一个三染色图上加入一个矛盾边那么肯定能让一个集合 ${x},xin{0,1,2}$ 满足 ${x} ightarrow {x}$ 。
证明这个也很简单，我们继续沿用情况三的 $u,v,w$ ，证明也和情况三的类似。
- 若存在 $u_1 ightarrow u_2 $ ，根据 $u_2 ightarrow {1}$ 可得 ${1} ightarrow u_1$ ，又由于 $u_1 ightarrow {1}$ ，那么 ${1} ightarrow {1}$ 。
- 若存在 $u ightarrow w$ ，由于 $w ightarrow u$ 可得 $u ightarrow u$ 。可以归纳到上述证明。
得证。
继续考虑情况 $1$ 的证明，根据当前的小结论可以得到该图存在一个 ${x} ightarrow {x}$ 的边，不妨将其设为 ${0} ightarrow {0}$ 。
由于 ${0} ightarrow{0},{0} ightarrow {1}$ 可得 ${1} ightarrow {0}$ 。
由于 ${1} ightarrow {0},{0} ightarrow {1}$ 可得 ${1} ightarrow {1}$ 。
由于 ${1} ightarrow {1},{1} ightarrow {2}$ 可得 ${2} ightarrow {1}$ 。
同理可得 ${1} ightarrow {2},{2} ightarrow {2}$ 。
由于任意两点均可以直接到达，图为完全图，那么黑点个数显然为弱联通块个数的平方。
得证。