探索5的幂和2的幂

2的幂和5的幂，当指数符号相反时，它们的十进制小数看起来很像，例如：2^-3 = 0.125 and 5³ = 125; 5^-5 = 0.00032 and 2⁵ = 32. 有效数字都是相同的，只不过一个是分数另一个是整数。就是说，一方的负指数跟另一方的正指数很像。

2的幂和5的幂看起来很像

这种关联并非巧合；它是分数转换为小数的一个副作用。我将使用简单的数学来证明它， 同时也证明类似的属性-负幂的乘积。— in products involving negative powers.

5的正幂到2的负幂

2的负幂的小数形式看起来像5的正幂，除了小数点和前导的数字0.下面是一些例子，5的正幂和2的负幂开头的8组：

n	5n	2-n
1	5	0.5
2	25	0.25
3	125	0.125
4	625	0.0625
5	3125	0.03125
6	15625	0.015625
7	78125	0.0078125
8	390625	0.00390625

这些成对的指数运算式称为加法逆元。所有后面的成对运算都显示出这一特性。一个2的负幂是一个形如2ⁿ的数，n是小于0的整数，或者，是一个形如2^-n的数， n > 0。根据指数运算规则， 2^-n = 1/2ⁿ = (1/2)ⁿ = (5/10)ⁿ = 5ⁿ/10ⁿ. 写成小数后，5ⁿ/10ⁿ 看起来像5的正幂，除了它是一个右移了n位的小数。

一个不同的变换给出了另外的解释：2^-n = 1/2ⁿ = (1/2)ⁿ = (0.5)ⁿ. 如果你手动计算的话，你会忽略小数点，乘完所有的5后再把小数点点上去。你已经完成了一个5的正幂运算，然后前面补0和小数点-以达到右移n位的目的。

2的正幂到5的负幂

不必奇怪，一条相仿的反转规律也存在；位于2的正幂和5的负幂之间。这不难理解，给出了小数体系里2和5的渊源。

5的负幂的小数形式看起来像2的正幂，除了多出的小数点和补位的0。下面是一些例子，2的正幂和5的负幂开头的8组：

n	2n	5-n
1	2	0.2
2	4	0.04
3	8	0.008
4	16	0.0016
5	32	0.00032
6	64	0.000064
7	128	0.0000128
8	256	0.00000256

同样，这些成对的指数运算式是加法逆元。使用跟前面类似的转换式，能将关系展示为：5^-n = 1/5ⁿ = (1/5)ⁿ = (2/10)ⁿ = 2ⁿ/10ⁿ 。写成小数，2ⁿ/10ⁿ 看起来像2的正幂，只不过它是一个右移了n位的小数。

还有另一种方法：5^-n = 1/5ⁿ = (1/5)ⁿ = (0.2)ⁿ. 同上，先计算2的幂然后再确定小数点位置并补零。

2的负幂与5的正幂之积

因为2的负幂看起来像5的正幂，它乘上一个5的正幂后仍然看起来像一个5的正幂。作为结果的5的幂，其指数是两个乘数的指数的绝对值之和。例如： 2^-3·5⁴ = 78.125, 看起来像5⁷ = 78125; 2^-7·5³ = 0.9765625, 看起来像 5¹⁰ = 9765625.

用数学表示，乘法表示为2^-t·5^f, 且t, f > 0。结果看起来像5^(t+f); 原因是: 2^-t = 5^t/10^t, 所以2^-t·5^f = 5^(t+f)/10^t. 这个表达式描述了一个5的正幂，只不过小数点左移t位。

你能想到跟2的负幂很像。乘积 2^-t·5^f 可以等价地写为 2^-t·5^f·(2^-f·2^f) = 2^-(t+f)·10^f, 其中2^-(t+f) 小数点右移f位。

5的负幂和2的正幂之积

类似的，5的负幂和2的正幂之积看起来像2的正幂。例如，5^-3·2³ = 0.064, 看起来像2⁶ = 64, 和5^-4·2¹² = 6.5536, 看起来像2¹⁶ = 65536.

以数学表示，乘法写为5^-f·2^t, 其中 f, t > 0. 结果看起来像2^(f+t); 原因是: 5^-f = 2^f/10^f, 所以 5^-f·2^t = 2^(f+t)/10^f. 这个表达式描述了2的正幂，只是小数点左移f位。

你能想到这很像5的负幂。乘积5^-f·2^t 可以等价写为 5^-f·2^t·(5^-t·5^t) = 5^-(f+t)·10^t, 是将 5^-(f+t) 小数点右移t位。

2的负幂和5的负幂之积

2的负幂和5的负幂之积看起来既像5的正幂又像2的正幂，取决于哪个指数更小。例如， 2^-4·5^-2 = 0.0025, 看起来像5的正幂，而 2^-2·5^-4 = 0.0004, 看起来像2的正幂。

数学表示，乘法可写为2^-t·5^-f, 且 t, f > 0, 有 f ≠ t. 有两种情况:

• f < t: 结果看起来像 5^(t-f), 有t位小数。原因：

  依据前面的 2^-t = 5^t/10^t 和 5^-f = 2^f/10^f. 得 2^-t·5^-f = (5^t/10^t)(2^f/10^f) = (5^t·2^f)/10^(t+f). 将10^f 依照分子来分解，因为f < t我们可以: (5^t·2^f)/10^(t+f) = (10^f·5^(t-f))/10^(t+f) = 5^(t-f)/10^t.

• t < f: 结果看起来像 2^(f-t), 有f位小数。原因：

  先是 (5^t·2^f)/10^(t+f), 将10^t 按分子分解，因为t < f我们可以: (5^t·2^f)/10^(t+f) = (10^t·2^(f-t))/10^(t+f) = 2^(f-t)/10^f.

(如果你允许 f = t, 答案是 2⁰ = 5⁰ = 1, 一个非负幂, 且有 f = t 位小数.)

讨论

我在PARI/GP中玩过一些数字后想出了这些乘法实例。我发现了一个模式，然后试着用数学来解释。

这些模式适用于幂问题，因为除法可以通过改变指数符号来转换为乘法。

一些实用

如果你知道5的正幂，或者你学过，你将更容易认识2的负幂 — 类似2的正幂和5的负幂。

如果你想用程序来打印2的负幂或5的负幂, 很简单，只需要整数: 转换正幂为字符串，然后前面追加合适的小数点和0。

参考

• learner.org article “Fractions to Decimals”.