概率论中的基本公式

1.条件概率

事件A已经发生的条件下，事件B发生

P(B|A)=P(AB)P(A)$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$

2.乘法定理

P(AB)=P(B|A)P(A)$$P(AB)=P(B|A)P(A)$$

推广多个事件的积事件

P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$$P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$$

更一般地有

P(A1A2...An)=P(An|A1A2...An−1)P(An−1|A1A2...An−2)…P(A2|A1)P(A1)$$P(A_1{A}_2...A_n)=P(A_n|A_1{A}_2...A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1{A}_2...A_{n-2})\dots P(A_2|A_1)P(A_1)$$

3.全概率公式

概念：
试验E的样本空间S，事件Bi$B_i$，i=1,2...,n$i=1,\mathrm{2...},n$是样本空间的一个划分，每次试验有且仅有一个发生。

• BiBj=∅,i≠j$B_i{B}_j=\varnothing ,i\ne j$
• B1∪B2∪...∪Bn=S$B_1\cup B_2\cup ...\cup B_n=S$

如果A是E的事件，事件A发生，

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)$$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n)$$

全概率公式的理解
例子：
人患肺癌的概率为0.1%，人群中有20%吸烟者，他们患肺癌的概率为0.4%, 那个不吸烟的人患肺癌的概率是多少？
换个人能看懂的说法，P(患肺癌)=0.001$P(患肺癌)=0.001$, P(吸烟)=0.2$P(吸烟)=0.2$, P(患肺癌|吸烟)=0.004$P(患肺癌|吸烟)=0.004$, 求 P(患肺癌|不吸烟)=?$P(患肺癌|不吸烟)=?$
P(患肺癌)=0.001$P(患肺癌)=0.001$ 既包括了吸烟患肺癌的概率又包括不吸烟患肺癌的概率。

P(患肺癌)=P(吸烟患肺癌)+P(不吸烟患肺癌)$$P(患肺癌)=P(吸烟患肺癌)+P(不吸烟患肺癌)$$

=P(患肺癌|吸烟)P(吸烟)+P(患肺癌|不吸烟)P(不吸烟)$$=P(患肺癌|吸烟)P(吸烟)+P(患肺癌|不吸烟)P(不吸烟)$$

=0.004×0.2+P(患肺癌|不吸烟)×(1−0.2)=0.001$$=0.004\times 0.2+P(患肺癌|不吸烟)\times (1-0.2)=0.001$$

所以不吸烟的人患肺癌的概率为0.00025.

4.贝叶斯公式

P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)∑nj=1P(A|Bj)P(Bj)$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)}$$

n=2时，

P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)+P(A|B¯¯¯¯)P(B¯¯¯¯)$$P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\overline{B})P(\overline{B})}$$

用条件概率、全概率公式理解贝叶斯公式：

P(A|B)=P(A∩B)P(A)$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

或者

P(B|A)=P(B∩A)P(A)$$P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$$

因为

P(A∩B)=P(B∩A)$$P(A\cap B)=P(B\cap A)$$

所以

P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A)$$P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$$

P(A)发生的概率就用到了全概率公式，包括B在各种情况下A发生的概率：

∑j=1nP(A|Bj)P(Bj)$$\sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)$$

实际应用中的定义

经典例子：
癌症诊断事件，人患癌症的统计概率为0.005，一个不患癌症的受诊者试验呈阳性的概率为0.05，一个患癌症的病人做诊断时呈阳性的概率为0.95，那么受诊者试验呈阳性，他患癌症的概率？
分析：
P(患癌症)=0.005$P(患癌症)=0.005$
P(呈阳性|不患癌症)=0.05$P(呈阳性|不患癌症)=0.05$
P(呈阳性|患癌症)=0.95$P(呈阳性|患癌症)=0.95$
P(患癌症|呈阳性)=?$P(患癌症|呈阳性)=?$

使用条件概率计算：

P(患癌症|呈阳性)=P(呈阳性|患癌症)P(患癌症)P(呈阳性)$$P(患癌症|呈阳性)=\frac{P(呈阳性|患癌症)P(患癌症)}{P(呈阳性)}$$

P(呈阳性|患癌症)P(患癌症)=0.005×0.95=0.00475$$P(呈阳性|患癌症)P(患癌症)=0.005\times 0.95=0.00475$$

P(呈阳性)=P(呈阳性|不患癌症)P(不患癌症)+P(呈阳性|患癌症)P(患癌症)$$P(呈阳性)=P(呈阳性|不患癌症)P(不患癌症)+P(呈阳性|患癌症)P(患癌症)$$

=0.05×(1−0.005)+0.95×0.005=0.0545$$=0.05\times (1-0.005)+0.95\times 0.005=0.0545$$

P(患癌症|呈阳性)=0.004750.0545=0.08715$$P(患癌症|呈阳性)=\frac{0.00475}{0.0545}=0.08715$$