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广度优先遍历
广度优先遍历，也被称为 层序优先遍历，从遍历的起始点
开始，一层一层地向下推
看如下实例：
这张图的邻接表如下：
对于广度优先遍历，需要使用队列作为辅助数据结构
以从 0 开始进行广度优先遍历为例（注意对照邻接表）：
首先将 0 入队
接着将队列头，即 0 出队，作为遍历对象，和 0 相邻的顶点是 1、2、
5、6，将 1、2、5、6 入队
接着将队列头，即 1 出队，作为遍历对象，而和 1 相邻的顶点只有 0，
且 0 曾入队，不用管
接着将队列头，即 2 出队，作为遍历对象，而和 2 相邻的顶点只有 0，
且 0 曾入队，不用管
接着将队列头，即 5 出队，作为遍历对象，和 5 相邻的顶点是 0、3、
4，其中 0 曾入队，不用管，将 3、4 入队
接着将队列头，即 6 出队，作为遍历对象，和 6 相邻的顶点是 0、4，
且 0 和 4 都曾入队，不用管
接着将队列头，即 3 出队，作为遍历对象，和 3 相邻的顶点是 4、5，
且 4 和 5 都曾入队，不用管
接着将队列头，即 4 出队，作为遍历对象，和 4 相邻的顶点是 3、5、
6，且 3、5、6 都曾入队，不用管
至此，队列为空，全部顶点遍历完毕
注意：只要加入到队列的顶点，就进行 visited 标记，因为一旦入队，
迟早都会被遍历
最短路径
在广度优先遍历中，先遍历到的顶点距离起始点的距离一定是小于等于
后遍历到的顶点的
如果把这个距离存储下来，就相当于求出了每一个顶点到起始点的最短
距离
更进一步，遍历到某顶点的同时，如果把从哪个顶点遍历到了当前顶点，
即 当前顶点的上一个顶点，也存储下来，就能把最短距离背后的最短路
径给求出来
「广度优先遍历求出了无权图的最短路径」
程序：
SparseGraph.h：
#ifndef SPARSEGRAPH_H #define SPARSEGRAPH_H
#include <iostream> #include <vector> #include <cassert> using namespace std;
// 稀疏图 - 邻接表 class SparseGraph {
private:
int n, m; //n 和 m 分别表示顶点数和边数 bool directed; //directed表示是有向图还是无向图 vector<vector<int>> g; //g[i]里存储的就是和顶点i相邻的所有顶点
public:
SparseGraph(int n, bool directed) { //初始化时，有n个顶点，0条边 this->n = n; this->m = 0; this->directed = directed; //g[i]初始化为空的vector for (int i = 0; i < n; i++) { g.push_back(vector<int>()); } }
~SparseGraph() {
}
int V(){ return n; } int E(){ return m; }
//在顶点v和顶点w之间建立一条边 void addEdge(int v, int w) {
assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n);
g[v].push_back(w); //（1）顶点v不等于顶点w，即 不是自环边 //（2）且不是有向图，即 是无向图 if (v != w && !directed) { g[w].push_back(v); }
m++; }
//hasEdge()判断顶点v和顶点w之间是否有边 //hasEdge()的时间复杂度：O(n) bool hasEdge(int v, int w) {
assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n);
for (int i = 0; i < g[v].size(); i++) { if (g[v][i] == w) { return true; } }
return false; }
void show() {
for (int i = 0; i < n; i++) { cout << "vertex " << i << ": "; for (int j = 0; j < g[i].size(); j++) { cout << g[i][j] << " "; } cout << endl; } }
//相邻点迭代器（相邻，即 adjacent） // //使用迭代器可以隐藏迭代的过程，按照一定的 //顺序访问一个容器中的所有元素 class adjIterator { private:
SparseGraph &G; //图的引用，即 要迭代的图 int v; //顶点v int index; //相邻顶点的索引
public:
adjIterator(SparseGraph &graph, int v) : G(graph) { this->v = v; this->index = 0; }
//要迭代的第一个元素 int begin() { //因为有可能多次调用begin()， //所以显式的将index设置为0 index = 0; //如果g[v]的size()不为0 if (G.g[v].size()) { return G.g[v][index]; }
return -1; }
//要迭代的下一个元素 int next() { index++; if (index < G.g[v].size()) { return G.g[v][index]; }
return -1; }
//判断迭代是否终止 bool end() { return index >= G.g[v].size(); } }; };
//事实上，平行边的问题，就是邻接表的一个缺点 // //如果要在addEdge()中判断hasEdge()，因为hasEdge()是O(n)的复 //杂度，那么addEdge()也就变成O(n)的复杂度了 // //由于在使用邻接表表示稀疏图时，取消平行边（即 在addEdge() //中加上hasEdge()），相应的成本比较高 // //所以，通常情况下，在addEdge()函数中就先不管平行边的问题， //也就是允许有平行边。如果真的要让图中没有平行边，就在所有 //边都添加进来之后，再进行一次综合的处理，将平行边删除掉
#endif |
DenseGraph.h：
#ifndef DENSEGRAPH_H #define DENSEGRAPH_H
#include <iostream> #include <vector> #include <cassert> using namespace std;
// 稠密图 - 邻接矩阵 class DenseGraph {
private:
int n, m; //n 和 m 分别表示顶点数和边数 bool directed; //directed表示是有向图还是无向图 vector<vector<bool>> g; //二维矩阵，存放布尔值，表示是否有边
public:
DenseGraph(int n, bool directed) { //初始化时，有n个顶点，0条边 this->n = n; this->m = 0; this->directed = directed; //二维矩阵：n行n列，全部初始化为false for (int i = 0; i < n; i++) { g.push_back(vector<bool>(n, false)); } }
~DenseGraph() {
}
int V(){ return n; } int E(){ return m; }
//在顶点v和顶点w之间建立一条边 void addEdge(int v, int w) {
assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n);
//如果顶点v和顶点w之间已经存在一条边， //则直接返回，即排除了平行边 if (hasEdge(v, w)) { return; }
g[v][w] = true; //如果是无向图，则g[w][v]处也设为true（无向图沿主对角线对称） if (!directed) { g[w][v] = true; }
m++; }
//hasEdge()判断顶点v和顶点w之间是否有边 //hasEdge()的时间复杂度：O(1) bool hasEdge(int v, int w) { assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n); return g[v][w]; }
void show() {
for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { cout << g[i][j] << " "; } cout << endl; } }
//相邻点迭代器（相邻，即 adjacent） class adjIterator { private:
DenseGraph &G; //图的引用，即 要迭代的图 int v; //顶点v int index; //相邻顶点的索引
public:
adjIterator(DenseGraph &graph, int v) : G(graph) { this->v = v; this->index = -1; }
//要迭代的第一个元素 int begin() { //找第一个为true的元素，即为要迭代的第一个元素 index = -1; return next(); }
//要迭代的下一个元素 int next() { for (index += 1; index < G.V(); index++) { if (G.g[v][index]) { return index; } }
return -1; }
//判断迭代是否终止 bool end() { return index >= G.V(); } }; };
//addEdge()函数隐含着：当使用邻接矩阵表示稠密图时，已经 //不自觉的将平行边给去掉了，即 在添加边时，如果发现已经 //存在该边，就不做任何操作，直接返回即可 // //事实上，这也是使用邻接矩阵的一个优势可以非常方便的处理 //平行边的问题 // //另外，由于使用的是邻接矩阵，可以非常快速的用O(1)的方式， //来判断顶点v和顶点w之间是否有边
#endif |
ReadGraph.h：
#ifndef READGRAPH_H #define READGRAPH_H
#include <iostream> #include <string> #include <fstream> #include <sstream> #include <cassert> using namespace std;
//从文件中读取图的测试用例 template <typename Graph> class ReadGraph {
public:
ReadGraph(Graph &graph, const string &filename) {
ifstream file(filename); string line; //一行一行的读取 int V, E;
assert(file.is_open());
//读取file中的第一行到line中 assert(getline(file, line)); //将字符串line放在stringstream中 stringstream ss(line); //通过stringstream解析出整型变量：顶点数和边数 ss >> V >> E;
//确保文件里的顶点数和图的构造函数中传入的顶点数一致 assert(V == graph.V());
//读取file中的其它行 for (int i = 0; i < E; i++) {
assert(getline(file, line)); stringstream ss(line);
int a, b; ss >> a >> b; assert(a >= 0 && a < V); assert(b >= 0 && b < V); graph.addEdge(a, b); } }
};
#endif |
ShortestPath.h：
#ifndef SHORTESTPATH_H #define SHORTESTPATH_H
#include <vector> #include <queue> #include <stack> #include <iostream> #include <cassert> using namespace std;
//通过广度优先遍历求最短路径（其中含有广度优先遍历的实现） template <typename Graph> class ShortestPath {
private:
Graph &G; //图的引用，即 要进行广度优先遍历的图 int s; //从顶点 s 到任意其它顶点的最短路径，s 即 source bool *visited; //每个顶点是否被访问过（是否被遍历过） int *from; //每访问一个顶点，就存储一下是从哪个顶点遍历到了当前顶点 int *ord; //从顶点 s 到每一个顶点具体的最短距离是多少，ord 即 order
public:
ShortestPath(Graph &graph, int s) :G(graph) {
// 算法初始化 assert(s >= 0 && s < graph.V());
visited = new bool[graph.V()]; from = new int[graph.V()]; ord = new int[graph.V()]; for (int i = 0; i < graph.V(); i++) { visited[i] = false; from[i] = -1; ord[i] = -1; } this->s = s;
//声明一个队列作为辅助数据结构 queue<int> q;
// 无向图最短路径算法 q.push(s); visited[s] = true; ord[s] = 0; while (!q.empty()) { //获取队列头代表的顶点，并出队 int v = q.front(); q.pop();
//注意：声明迭代器时，前面还要加 typename，表明 adjIterator //是 Graph 中的类型，而不是成员变量 typename Graph::adjIterator adj(G, v); //遍历队列头所代表顶点的所有相邻顶点 for (int i = adj.begin(); !adj.end(); i = adj.next()) { //如果当前顶点不曾入队，就入队，同时维护相关信息 if (!visited[i]) { q.push(i); visited[i] = true; from[i] = v; ord[i] = ord[v] + 1; } } }
}
~ShortestPath() {
delete []visited; delete []from; delete []ord; }
//从顶点s到顶点w是否有路：如果visited[w]为true， //表明从顶点s通过BFS访问到了顶点w，即有路 bool hasPath(int w) { assert(w >= 0 && w < G.V()); return visited[w]; }
//找到从顶点s到顶点w的路径：通过from数组从顶点w倒推回去， //并存储在栈中，最后再从栈中转存到向量中 void path(int w, vector<int> &vec) {
assert(w >= 0 && w < G.V());
stack<int> s;
int p = w; //直到倒推到源顶点，它的from值为-1，即 from[s] = -1 while (p != -1) { s.push(p); p = from[p]; }
//为了安全起见，先将向量vector清空 vec.clear(); //只要栈不为空，就将栈顶元素放入向量中，并出栈 while (!s.empty()) { vec.push_back(s.top()); s.pop(); } }
//打印从顶点s到顶点w的最短路径 void showPath(int w) {
assert(w >= 0 && w < G.V());
vector<int> vec; path(w, vec); for (int i = 0; i < vec.size(); i++) { cout << vec[i]; if (i == vec.size() - 1) { cout << endl; } else { cout << " -> "; } } }
//从顶点s到顶点w的最短路径的长度，即最短距离 int length(int w) { assert(w >= 0 && w < G.V()); return ord[w]; } };
#endif |
main.cpp：
#include "SparseGraph.h" #include "DenseGraph.h" #include "ReadGraph.h" #include "ShortestPath.h" #include <iostream> using namespace std;
int main() {
string filename = "testG2.txt"; //稀疏图 SparseGraph g = SparseGraph(7, false); ReadGraph<SparseGraph> readGraph(g, filename); g.show(); cout << endl;
ShortestPath<SparseGraph> bfs(g, 0); cout << "BFS : "; bfs.showPath(6);
system("pause"); return 0; }
//（1）从一个点到另外一点，最短路径可能有多条，最后得到的那条最短路 //径，取决于图中的遍历顺序 // // //（2）图的广度优先遍历的复杂度（和深度优先遍历的复杂度一致）： // //稀疏图 - 邻接表：O(V+E)，通常情况下，E会比V大，所以也可以说是 O(E) // //稠密图 - 邻接矩阵：O(V^2) |
运行一览：
其中，testG2.txt 的内容如下：
该文件可以分成两个部分：
（1）第一行：两个数字分别代表顶点数和边数
（2）其它行：每一行的两个数字表示一条边
【made by siwuxie095】