--------------------siwuxie095
Kruskal 算法
在 Prim 算法中，不停地改变切分，同时通过切分寻找
横切边中权值最小的那条边
在这个过程中，可能有人就会有这样一个想法：如果每
次都找当前权值最小的那条边（不是横切边中），那么
它就一定属于最小生成树
看如下实例：
这张连通带权无向图中所有边上的权值如下：
1-7 是权值最小的边，权值为 0.16，就可以说 1-7 一定
属于最小生成树
这是因为：总能找到一个切分，使得对于这个切分而言，
1-7 就是横切边中的权值最小的那条边
采用这样的思路不断去找当前权值最小的边，只要这些
权值最小的边不构成环，那么这些依次取得的边就一定
属于最小生成树，这就是 Kruskal 算法的思想
具体做法：
首先将图中所有的边进行一次排序，时间复杂度：O(E*lgE)
然后每次都取出还未考虑的边中的权值最小的那条边，把它
加入到最小生成树中，看看是否会形成环，如果不会形成环，
那么它就一定属于最小生成树
整个过程中比较复杂的，唯一需要处理的就是：怎么判断把
一个边加入到最小生成树中是否会形成环
其实，这个判断的方式也非常简单，只需要将并查集作为辅
助数据结构，就可以很容易地判断出来
即 在将一条边加入到最小生成树的同时，只要对这条边的两
个端点要进行一次 Union 操作，后续再加入某一条边时就可
以使用并查集快速判断环
程序：
Edge.h：
#ifndef EDGE_H #define EDGE_H
#include <iostream> #include <cassert> using namespace std;
//边信息：两个顶点和权值 template<typename Weight> class Edge {
private:
int a, b; //边的两个顶点a和b（如果是有向图，就默认从顶点a指向顶点b） Weight weight; //边上的权值
public:
Edge(int a, int b, Weight weight) { this->a = a; this->b = b; this->weight = weight; }
//默认构造函数 Edge(){}
~Edge(){}
int v(){ return a; }
int w(){ return b; }
Weight wt() { return weight; }
//知道边的一个顶点x，返回另一个顶点 int other(int x) { assert(x == a || x == b); return x == a ? b : a; }
//友元函数重载 friend ostream &operator<<(ostream &os, const Edge &e) { os << e.a << "-" << e.b << ": " << e.weight; return os; }
bool operator<(Edge<Weight> &e) { return weight < e.wt(); }
bool operator<=(Edge<Weight> &e) { return weight <= e.wt(); }
bool operator>(Edge<Weight> &e) { return weight > e.wt(); }
bool operator>=(Edge<Weight> &e) { return weight >= e.wt(); }
bool operator==(Edge<Weight> &e) { return weight == e.wt(); } };
#endif |
SparseGraph.h：
#ifndef SPARSEGRAPH_H #define SPARSEGRAPH_H
#include "Edge.h" #include <iostream> #include <vector> #include <cassert> using namespace std;
// 稀疏图 - 邻接表 template<typename Weight> class SparseGraph {
private:
int n, m; //n 和 m 分别表示顶点数和边数 bool directed; //directed表示是有向图还是无向图 vector<vector<Edge<Weight> *>> g; //g[i]里存储的就是和顶点i相邻的所有边指针
public:
SparseGraph(int n, bool directed) { this->n = n; this->m = 0; this->directed = directed; //g[i]初始化为空的vector for (int i = 0; i < n; i++) { g.push_back(vector<Edge<Weight> *>()); } }
~SparseGraph() {
for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < g[i].size(); j++) { delete g[i][j]; } } }
int V(){ return n; } int E(){ return m; }
void addEdge(int v, int w, Weight weight) { assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n);
g[v].push_back(new Edge<Weight>(v, w, weight)); //（1）顶点v不等于顶点w，即 不是自环边 //（2）且不是有向图，即 是无向图 if (v != w && !directed) { g[w].push_back(new Edge<Weight>(w, v, weight)); }
m++; }
//hasEdge()判断顶点v和顶点w之间是否有边 //hasEdge()的时间复杂度：O(n) bool hasEdge(int v, int w) { assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n);
for (int i = 0; i < g[v].size(); i++) { if (g[v][i]->other(v) == w) { return true; } }
return false; }
void show() {
for (int i = 0; i < n; i++) { cout << "vertex " << i << ": "; for (int j = 0; j < g[i].size(); j++) { cout << "{to:" << g[i][j]->w() << ",wt:" << g[i][j]->wt() << "} "; } cout << endl; } }
//邻边迭代器（相邻，即 adjacent） // //使用迭代器可以隐藏迭代的过程，按照一定的 //顺序访问一个容器中的所有元素 class adjIterator { private:
SparseGraph &G; //图的引用，即 要迭代的图 int v; //顶点v int index; //相邻顶点的索引
public:
adjIterator(SparseGraph &graph, int v) : G(graph) { this->v = v; this->index = 0; }
//要迭代的第一个元素 Edge<Weight> *begin() { //因为有可能多次调用begin()， //所以显式的将index设置为0 index = 0; //如果g[v]的size()不为0 if (G.g[v].size()) { return G.g[v][index]; }
return NULL; }
//要迭代的下一个元素 Edge<Weight> *next() { index++; if (index < G.g[v].size()) { return G.g[v][index]; }
return NULL; }
//判断迭代是否终止 bool end() { return index >= G.g[v].size(); } }; };
#endif |
DenseGraph.h：
#ifndef DENSEGRAPH_H #define DENSEGRAPH_H
#include "Edge.h" #include <iostream> #include <vector> #include <cassert> using namespace std;
// 稠密图 - 邻接矩阵 template<typename Weight> class DenseGraph {
private:
int n, m; //n 和 m 分别表示顶点数和边数 bool directed; //directed表示是有向图还是无向图 vector<vector<Edge<Weight> *>> g; //二维矩阵，存储边指针
public:
DenseGraph(int n, bool directed) { this->n = n; this->m = 0; this->directed = directed; //二维矩阵：n行n列，全部初始化为NULL for (int i = 0; i < n; i++) { g.push_back(vector<Edge<Weight> *>(n, NULL)); } }
~DenseGraph() { for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (g[i][j] != NULL) { delete g[i][j]; } } } }
int V(){ return n; } int E(){ return m; }
//在顶点v和顶点w之间建立一条边 void addEdge(int v, int w, Weight weight) { assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n);
//如果顶点v和顶点w之间已经存在一条边，就删掉， //之后按照传入权值重建一条边，即直接覆盖 if (hasEdge(v, w)) { delete g[v][w];
//如果是无向图，还要删除和主对角线对称的值 if (!directed) { delete g[w][v]; }
m--; }
g[v][w] = new Edge<Weight>(v, w, weight);
//如果是无向图，还要在和主对角线对称处添加值 if (!directed) { g[w][v] = new Edge<Weight>(w, v, weight); }
m++; }
//hasEdge()判断顶点v和顶点w之间是否有边 //hasEdge()的时间复杂度：O(1) bool hasEdge(int v, int w) { assert(v >= 0 && v < n); assert(w >= 0 && w < n); return g[v][w] != NULL; }
void show() {
for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (g[i][j]) { cout << g[i][j]->wt() << " "; } else { cout << "NULL "; } } cout << endl; } }
//邻边迭代器（相邻，即 adjacent） class adjIterator { private:
DenseGraph &G; //图引用，即 要迭代的图 int v; //顶点v int index; //相邻顶点的索引
public:
adjIterator(DenseGraph &graph, int v) : G(graph) { this->v = v; this->index = -1; }
//要迭代的第一个元素 Edge<Weight> *begin() { //找第一个权值不为NULL的元素，即为要迭代的第一个元素 index = -1; return next(); }
//要迭代的下一个元素 Edge<Weight> *next() { for (index += 1; index < G.V(); index++) { if (G.g[v][index]) { return index; } }
return NULL; }
//判断迭代是否终止 bool end() { return index >= G.V(); } }; };
#endif |
ReadGraph.h：
#ifndef READGRAPH_H #define READGRAPH_H
#include <iostream> #include <string> #include <fstream> #include <sstream> #include <cassert> using namespace std;
//从文件中读取图的测试用例 template <typename Graph, typename Weight> class ReadGraph {
public: ReadGraph(Graph &graph, const string &filename) {
ifstream file(filename); string line; //一行一行的读取 int V, E;
assert(file.is_open());
//读取file中的第一行到line中 assert(getline(file, line)); //将字符串line放在stringstream中 stringstream ss(line); //通过stringstream解析出整型变量：顶点数和边数 ss >> V >> E;
//确保文件里的顶点数和图的构造函数中传入的顶点数一致 assert(V == graph.V());
//读取file中的其它行 for (int i = 0; i < E; i++) {
assert(getline(file, line)); stringstream ss(line);
int a, b; Weight w; ss >> a >> b >> w; assert(a >= 0 && a < V); assert(b >= 0 && b < V); graph.addEdge(a, b, w); } } };
#endif |
MinHeap.h：
#ifndef MINHEAP_H #define MINHEAP_H
#include <iostream> #include <algorithm> #include <string> #include <cmath> #include <cassert> using namespace std;
//最小堆：索引从0开始 template<typename Item> class MinHeap {
private: Item *data; int count; int capacity;
//私有函数，用户不能调用 void shiftUp(int k) { //如果新添加的元素小于父节点的元素，则进行交换 while (k > 0 && data[(k - 1) / 2] > data[k]) { swap(data[(k - 1) / 2], data[k]); k = (k - 1) / 2; } }
//也是私有函数，用户不能调用 void shiftDown(int k) { //只要当前节点有孩子就进行循环 while (2 * k + 1 < count) { // 在此轮循环中,data[k]和data[j]交换位置 int j = 2 * k + 1;
// data[j]是data[2*k]和data[2*k+1]中的最小值 if (j + 1 < count && data[j + 1] < data[j]) { j++; }
if (data[k] <= data[j]) { break; }
swap(data[k], data[j]); k = j; } }
public:
MinHeap(int capacity) { data = new Item[capacity]; //计数器，即 序列号，这里索引等于序列号减一 count = 0; this->capacity = capacity; }
~MinHeap() { delete []data; }
int size() { return count; }
bool isEmpty() { return count == 0; }
//向最小堆中添加新元素，新元素放在数组末尾 void insert(Item item) { //防止越界 assert(count <= capacity);
//索引从0开始 data[count] = item; count++;
//新加入的元素有可能破坏最小堆的定义，需要通过 //Shift Up操作，把索引为count-1的元素尝试着向上 //移动来保持最小堆的定义 shiftUp(count - 1); }
//取出最小堆中根节点的元素（最小值） Item extractMin() { //首先要保证堆不为空 assert(count > 0);
//取出根节点的元素（最小值） Item ret = data[0];
//将第一个元素（最小值）和最后一个元素进行交换 swap(data[0], data[count - 1]);
//count--后，被取出的根节点就不用再考虑了 count--;
//调用Shift Down操作，想办法将此时的根节点（索引为0） //向下移动，来保持最小堆的定义 shiftDown(0);
return ret; }
public:
//在控制台打印测试用例 void testPrint() {
//限制：只能打印100个元素以内的堆，因为控制台一行的字符数量有限 if (size() >= 100) { cout << "Fancy print can only work for less than 100 int"; return; }
//限制：只能打印类型是int的堆 if (typeid(Item) != typeid(int)) { cout << "Fancy print can only work for int item"; return; }
cout << "The Heap size is: " << size() << endl; cout << "data in heap: "; for (int i = 0; i < size(); i++) { cout << data[i] << " "; } cout << endl; cout << endl;
int n = size(); int max_level = 0; int number_per_level = 1; while (n > 0) { max_level += 1; n -= number_per_level; number_per_level *= 2; }
int max_level_number = int(pow(2, max_level - 1)); int cur_tree_max_level_number = max_level_number; int index = 0; for (int level = 0; level < max_level; level++) { string line1 = string(max_level_number * 3 - 1, ' ');
int cur_level_number = min(count - int(pow(2, level)) + 1, int(pow(2, level)));
bool isLeft = true;
for (int index_cur_level = 0; index_cur_level < cur_level_number; index++, index_cur_level++) { putNumberInLine(data[index], line1, index_cur_level, cur_tree_max_level_number * 3 - 1, isLeft);
isLeft = !isLeft; } cout << line1 << endl;
if (level == max_level - 1) { break; }
string line2 = string(max_level_number * 3 - 1, ' '); for (int index_cur_level = 0; index_cur_level < cur_level_number; index_cur_level++) { putBranchInLine(line2, index_cur_level, cur_tree_max_level_number * 3 - 1); }
cout << line2 << endl;
cur_tree_max_level_number /= 2; } }
private:
void putNumberInLine(int num, string &line, int index_cur_level, int cur_tree_width, bool isLeft) {
int sub_tree_width = (cur_tree_width - 1) / 2;
int offset = index_cur_level * (cur_tree_width + 1) + sub_tree_width;
assert(offset + 1 < line.size());
if (num >= 10) { line[offset + 0] = '0' + num / 10; line[offset + 1] = '0' + num % 10; } else { if (isLeft) line[offset + 0] = '0' + num; else line[offset + 1] = '0' + num; } }
void putBranchInLine(string &line, int index_cur_level, int cur_tree_width) {
int sub_tree_width = (cur_tree_width - 1) / 2;
int sub_sub_tree_width = (sub_tree_width - 1) / 2;
int offset_left = index_cur_level * (cur_tree_width + 1) + sub_sub_tree_width;
assert(offset_left + 1 < line.size());
int offset_right = index_cur_level * (cur_tree_width + 1) + sub_tree_width + 1 + sub_sub_tree_width;
assert(offset_right < line.size());
line[offset_left + 1] = '/'; line[offset_right + 0] = '\'; } };
#endif |
UnionFind.h：
#ifndef UNIONFIND_H #define UNIONFIND_H
#include <iostream> #include <cassert> using namespace std;
//并查集：Quick Union + rank + path compression class UnionFind {
private: int* parent; int* rank; // rank[i]表示以i为根的集合所表示的树的层数 int count;
public: UnionFind(int count) { this->count = count; parent = new int[count]; rank = new int[count]; //在初始情况下，并查集里的元素，两两之间互不连接 for (int i = 0; i < count; i++) { parent[i] = i; rank[i] = 1; } }
~UnionFind() { delete []parent; delete []rank; }
int size() { return count; }
int find(int p) {
assert(p >= 0 && p < count);
// path compression 1 while (p != parent[p]) { //路径压缩 parent[p] = parent[parent[p]]; p = parent[p]; }
return p; }
bool isConnected(int p, int q) { return find(p) == find(q); }
void unionElements(int p, int q) {
int pRoot = find(p); int qRoot = find(q);
if (pRoot == qRoot) { return; }
//rank小的那棵树的根节点指向rank大的那棵树的根节点 if (rank[pRoot] < rank[qRoot]) { parent[pRoot] = qRoot; } else if (rank[qRoot] < rank[pRoot]) { parent[qRoot] = pRoot; } // rank[pRoot] == rank[qRoot] else { //可互换 parent[pRoot] = qRoot; rank[qRoot] ++; }
}
void show() { for (int i = 0; i < count; i++) { cout << i << " : " << parent[i] << endl; } } };
//路径压缩：在寻找根的时候，两步一跳，比原来的 Find 操作要快， //与此同时，如果下一次要寻找这棵树上某个元素的根节点，由于层 //数变低，相应的速度也会快很多
#endif |
KruskalMST.h：
#ifndef KRUSKALMST_H #define KRUSKALMST_H
#include "Edge.h" #include "MinHeap.h" #include "UnionFind.h" #include <iostream> #include <vector> using namespace std;
//Kruskal 算法实现最小生成树 template <typename Graph, typename Weight> class KruskalMST {
private:
vector<Edge<Weight>> mst; //属于最小生成树的 V-1 条边存储到向量 mst 中 Weight mstWeight; //最后最小生成树的总权值 mstWeight
public:
KruskalMST(Graph &graph) { //使用堆排序（最小堆） MinHeap<Edge<Weight>> pq(graph.E()); //遍历图中所有的边 for (int i = 0; i < graph.V(); i++) { //注意：声明迭代器时，前面还要加 typename，表明 adjIterator //是 Graph 中的类型，而不是成员变量 typename Graph::adjIterator adj(graph, i); for (Edge<Weight> *e = adj.begin(); !adj.end(); e = adj.next()) { //对边 e 两端的顶点索引进行比较，只将一端索引更小的边 //放入最小堆中，避免重复 if (e->v() < e->w()) { pq.insert(*e); } } }
UnionFind uf = UnionFind(graph.V()); //只要最小堆不为空， while (!pq.isEmpty() && mst.size() < graph.V() - 1) {
Edge<Weight> e = pq.extractMin(); //如果边 e 两端的顶点索引有相同的根，即 相连， //那么就不考虑边 e，直接跳过 if (uf.isConnected(e.v(), e.w())) { continue; }
mst.push_back(e);
uf.unionElements(e.v(), e.w()); }
mstWeight = mst[0].wt(); for (int i = 1; i < mst.size(); i++) { mstWeight += mst[i].wt(); }
}
~KruskalMST() {
}
vector<Edge<Weight>> mstEdges() { return mst; }
Weight result() { return mstWeight; } };
#endif |
main.cpp：
#include "SparseGraph.h" #include "DenseGraph.h" #include "ReadGraph.h" #include "KruskalMST.h" #include <iostream> #include <iomanip> using namespace std;
int main() {
string filename = "testG1.txt"; int V = 8;
//稀疏图 SparseGraph<double> g = SparseGraph<double>(V, false); ReadGraph<SparseGraph<double>, double> readGraph(g, filename);
// Test Kruskal MST cout << "Test Kruskal MST:" << endl; KruskalMST<SparseGraph<double>, double> kruskalMST(g); vector<Edge<double>> mst = kruskalMST.mstEdges(); for (int i = 0; i < mst.size(); i++) { cout << mst[i] << endl; } cout << "The MST weight is: " << kruskalMST.result() << endl;
system("pause"); return 0; }
//Kruskal 算法的时间复杂度：O(E*logE+E*logV)，比 Prim 算法的效率要低 |
运行一览：
其中，testG1.txt 的内容如下：
该文件可以分成两个部分：
（1）第一行：两个数字分别代表顶点数和边数
（2）其它行：每一行的前两个数字表示一条边，第三个数字表示权值
【made by siwuxie095】