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第二天，好为人师的老明继续开讲他的私人课堂。
“今天讲NMiniKanren的运行原理。”老明敲了敲白板，开始涂画代码，“我们从一个喜闻乐见的例子开始。”
KRunner.PrintResult(KRunner.Run(null, (k, q) =>
{
var x = k.Fresh();
var y = k.Fresh();
return k.All(
k.Any(k.Eq(x, 1), k.Eq(x, 2)),
k.Any(k.Eq(y, x), k.Eq(y, "b")),
k.Eq(q, k.List(x, y)));
}));
“这题我会了！”小皮在例子下边写下答案：
[(1 1), (1 b), (2 2), (2 b)]
看到小皮没把昨天的知识忘光，老明略感欣慰：“不错。你这个答案是怎么算出来的呢？”
“呃……就是那个……”小皮忽然卡壳了。这种问题就好比几何证明题，明明一眼就能看出来的两条垂直线，真下手证明却发现还挺不容易。小皮抓了几把头发，总算理出一缕思绪：“大概就是找出所有条件可能的组合……然后算一下解……”小皮一边说，一边在白板上写着：
x == 1y == x => (x y) == (1 1)y == "b" => (x y) == (1 "b")
x == 2y == x => (x y) == (2 2)y == "b" => (x y) == (2 "b")
“嗯，其实你已经知道怎么算出答案来了。只是对于其中的细节还不甚明了。我们接下来要做的事要理清楚这个计算过程，得到一个每一步都可以由计算机明确执行的算法。
“这个算法其实就是你所说这样，找出所有可能的条件组合。每组条件组合可以求出一个解，也可能自相矛盾从而无解。由于NMiniKanren中的条件都是相等条件，所以一组条件组合可以看作一个替换（Substitution）。一个替换能产生一个解，或者无解。
“因此，只需解决下面两个问题：
- 要在什么数据结构上按照什么顺序遍历替换。
- 如何从替换中算出一个解，或者判断其无解。”
遍历分支
首先，我们要从代码构造出一个数据结构（其实就是一张图）。这个数据结构能够按照一定的顺序进行遍历，并依次生成替换。
例子中的代码使用到了Eq、Any和All这三种构造目标的方法。下面分别探讨怎样从这三种方法构造出我们需要的数据结构来。
Eq
“k.Eq(a, b)构造的目标是什么意思呢？”老明以一个看似平凡的问题开头。
“简单，意思就是a要等于b这个条件。”
“孤立地看，是这样。但是考虑到上下文，更精确地说应该是，在上下文的基础上追加a等于b这个条件。”
小皮有点不解：“emm……多了‘追加’有什么不同呢？”
“从文字上看，多了‘追加’后，目标的解释从一种名词（一组条件）变成了动词（追加条件）。这样一来，目标不仅表达了一组条件，同时也表达了这些条件如何跟上下文结合。就Eq的情况来说，这个结合方式是‘追加’。而Any和All会有其他结合方式。”
“虽然还不是很明白，我想这个要等Any和All的情况一起对比才能清晰起来。我还另外有个问题，上下文指的是什么？”
“狭义地说，上下文是解释器运行到这一条代码时，已执行的代码生成的替换。
上下文 <-> 一个替换 <-> 一组条件
“广义上看，上下文还应该包含回溯分支等控制信息，不过目前我们先忽略这些。
“综合起来，按照对Eq目标的解释，我们可以用下图来表示这个目标。”
Any（或）
“接着看Any。按照上面的讨论，我们要怎么解释Any目标呢？”老明继续发问。
“解释目标要说清楚两个方面：名词（什么条件）和动词（如何与上下文结合）。以一开始的例子中的k.Any(k.Eq(x, 1), k.Eq(x, 2))为例。名词方面自然就是x等于1和x等于2两个条件了，不过这两个条件是‘或’的关系。动词方面，应该是从上下文分岔出两个分支，一个分支追加x等于1这个条件，另一个分支追加x等于2这个条件。”
“很好。也就是说，和Eq不同，Any操作和上下文结合后，会生成多个替换。”老明赞许地点点头，“它把参数的分支都放在一起，就像加法似的。用图表示的话，就像下面这样。”
All（与）
“最后是All……”
“这个我也会了！”小皮打断老明，“k.All(a, b)名词上表示条件a且条件b；动词上表示上下文先追加a，再追加b。”
“你说的太笼统了。a和b可能都有多个分支，这种情况下怎么做？”老明接着问道。
小皮想了想一开始做的例子，答道：“这种情况要取所有组合，也就是a的分支和b的分支两两组合！最后分支数量等于a分支数量乘以b分支数量。”
“很好。如果Any类比加法，那么All类比的是乘法。下面这图描述了开头例子中的All方法的结合过程。
“这是个有向图，每条边表示一次追加条件的过程。每条从开始节点（上下文）到结尾的路径，上面的节点组合起来就是一个替换。遍历所有路径，我们就遍历了所有替换。而遍历的顺序，就是解释器输出结果的顺序。”
Anyi
接下来我们还可以来看看Anyi。
普通的Any使用的普通的树结构遍历顺序：
而Anyi以交替的顺序遍历分支：
Alli类似采用交替的顺序遍历，这里就不再画了（主要是不好画，懒）。
再看目标（Goal）
上一篇主要从构造目标的角度出发，介绍了不同方式构造出来的目标。为了实现NMiniKanren的解释器，我们需要更加深入地了解在解释器的实现中，Goal是什么类型。
在前面的讨论中，我们知道，目标的含义是对上下文/一个替换按照某种方式追加一些条件，返回零个、一个或多个替换——Eq返回一个；Any和All可能返回多个；另外前面没讨论到的Fail会返回零个。
从这个描述不难看出，最方便表述目标类型的是一个单参数函数，其参数是一个替换，返回值是替换的枚举，相当于C#中的Enumerable<替换>，也可以说是一个替换的流（Stream）。
Goal: (替换) -> Stream<替换>
Goal(替换)这个函数调用的含义是把Goal包含的条件，追加到替换上，返回一系列（因为可能有分支，就会变成多个）的替换。
“为什么不直接用List呢？”小皮又发问了。
“因为很多情况下，分支数量会很多，甚至是无穷多，而我们只需要挨个取前面几个结果就够了。这种情况下使用List会极大降低解释器效率，甚至造成死循环。”
递归的情况
“略。”
“啥？”小皮瞪了下眼。
“懒得画，留着思考吧。”
替换求解
“生成替换后，剩下的就是求解了。
“替换求解的方法很简单，就是应用一下小学时学过的代入消元法。来，看看这个怎么解。”老明一边说一边写下例题：
(1) y == x
(2) q == (x y)
(3) x == 1
毕竟是小学难度的题目，小皮看了一眼，马上就有了解法：“x等于1是确定的了，把(3)代入(1)后，y也等于1。把(1)和(3)都代入(2)，得到q等于(1 1)。”
“解是求出来了，不过你觉得你这个步骤有通用性吗？”老明虚着眼说，“计算机能自觉地使用你这个蛇皮顺序吗？”
“呃……”小皮陷入沉思。判断代入顺序的规则似乎还挺麻烦的。或者简单粗暴按照所有顺序都代入一遍？
“其实没想象中复杂，按顺序代入一遍，再反过来代入一遍，就OK了。”
按顺序代入
把(1)代入(2)(3)：
(1) y == x
(2) q == (x x)
(3) x == 1
把(2)代入(3)：
(1) y == x
(2) q == (x x)
(3) x == 1
在解释器实现中，条件是一条一条追加上来的。可以每次追加条件的时候，将已有的条件代入新条件，这样就把这一步化解到生成替换的过程中了。
加入条件(1) y == x:
(1) y == x
加入条件(2) q == (x y):
(1) y == x
(2) q == (x x)
加入条件(3) x == 1:
(1) y == x
(2) q == (x x)
(3) x == 1
按相反顺序代入
把(3)代入(2)(1)：
(1) y == 1
(2) q == (1 1)
(3) x == 1
把(2)代入(1)：
(1) y == 1
(2) q == (1 1)
(3) x == 1
搞定！
这只是个简单的例子。实际情况还可能会出现无解、自由变量以及死循环等情况。这里就不多赘述了。
再议“非”运算
“现在能看出NMiniKanren为什么不支持‘非’运算了吗？”
小皮认真想了一会，说：“岂止不支持‘非’，‘大于’和‘小于’这些也不行吧。按照代入消元法，NMiniKanren只支持相等条件。”。
“那如果要支持这些运算应该怎么做呢？”
“要拓展条件的类型。除了相等条件，还要有不相等条件等。响应的求解算法也要有所变化。”
“没错。改动虽然不大，但是代码看起来会混乱得多。所以以教学为目的的话，就不支持这些了。”
小结
不知不觉时间已到了喜闻乐见的午餐时间，于是老明总结道：“虽然还没有落地成代码，但运行原理算是弄清楚了。关键点就两个:
- 要在什么数据结构上按照什么顺序遍历替换。
- 如何从替换中算出一个解，或者判断其无解。
“第一点，我们从代码构造了一张图。该图的每条路径对应一个替换，遍历路径的顺序就是遍历替换的顺序。同时也明确了目标Goal的类型。
“第二点，我们使用代入消元法，来回两遍代入解出了所有未知量。”
“接下来可以写代码实现NMiniKanren解释器了吧。”理解了原理后，小皮的十条手指已经饥渴难耐，蚯蚓似的扭动着。
“不着急，下午还要先讲一个编程小技巧，然后就可以开搞了。”