线性代数的本质-07-点积与对偶性

这两天学习状态不佳,苦恼!~点积所发挥的作用只能够从线性变换的角度去完成.

• 向量w,v的点积

1. 相当于向量w朝着过原点的向量v在直线上的投影,而后将投影的长度与向量v的长度相乘.
2. 向量方向相同时,点积为正;向量方向相反时,点积为负;当它们互相垂直时,一个向量在另一个向量上的投影为零向量.

• 点积与计算顺序无关,对偶性

1. 点积相乘与计算顺序无关,即互相投影不影响计算结果.
2. 原因在于:按照对称性的角度出发,看两个向量.无论谁映射向谁,当发生伸缩变换时,要么投影改变伸缩大小比例,要么被映射向量改变伸缩大小比例.

• 疑惑

1. 视频看到这里还是有些许疑惑,点积究竟如何表达映射的,在此联想到之前的转换线性变换.
2. 首先,矩阵相乘时,本质是发生线性翻转,AB≠BA这是因为基向量的剪切旋转先后顺序不同,从而导致转换空间不一致的问题.
3. 其次,为什么点积会不发生问题呢,首先重要一点,这个线性变换只是两个向量之间的问题,无论哪个向量映射到哪个向量,都会遵循对偶原则,对称性使得结果值不发生改变
4. 问题是:如何表达成为被映射向量长度与映射向量投影的值呢?

• 答疑解惑

• 视频作者说,还要从对偶性向深处挖掘
• 多维空间向一维空间的线性变换

1. 当拥有一系列等距分布于一条直线上面的点,然后引用变换.
2. 线性变换会保持这些点等距分布在输出空间中,也就是数轴上.(等距分布的点,保持等距分布)
3. 线性变换完全由它对ihat和jhat的变换决定,只不过,这些基向量这次只落在一个数上.(暂时考虑为向量相加,但是方向不同是正负数关系,还是不太理解)
4. 将它们在变换后的位置记录为矩阵的列时,矩阵的每列只是一个单独的数(模模糊糊,有些感觉了,但是还是不够强烈)

• 1×2矩阵与二维向量之间有着微妙的联系

1. 将向量放倒,从而得到与之相关的矩阵/或者将矩阵立直,从而得到与之相关的向量.

• 视频作者在卖关子了,从几何角度会看到美妙的事情,究竟是什么事情.

1. 将向量转化为数的线性变换和这个向量本身有着某种关系.
2. 假设将被映射向量归为uhat,一个过原点斜直方向处于二维坐标平面的轴.
3. ihat投影到uhat落在什么位置,同样对应uhat投影到ihat上对应什么位置.
4. 因此ihat投影到uhat上对应什么位置,对应于uhat映射到ihat上的对应位置,因此变换后的位置分别对应于uhat的u_x和u_y.也即横纵坐标.
5. 在第4步骤中可以找到变换后的基向量,因此点积公式如上.

• 以上是任意向量和单位向量的点积,那么扩展到任意向量和任意向量的点积呢?(毫无疑问,效果是一样的,看来这里脑子还是混沌为什么会说出毫无疑问没有思考的傻话呢?)

1. 弹幕区有人说,还是基向量的变换,换汤不换药,这个观点我赞同.
2. 无论何时,看到二维到一维的线性变换,无论其如何定义,空间中会存在唯一的向量v与之相关.
3. 一个向量的对偶是由它定义的线性变换
4. 一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间中的某个特定向量
5. 两个向量点积相乘,就是将其中一个向量转换为线性变换.

• 有趣的弹幕

1. 点积=数量积=内积
2. 叉积=向量积=外积=矢量积
3. 转置是在矩阵中的运算,点积与其并不相同(这个,现在回想起来,可能还是有点分的太清反而不对的)
4. 两个向量的乘积的规则是对应相乘,而矩阵与向量的乘积是转置相乘,也就是可以吧第一个向量放倒形成一个矩阵和向量相乘.从而引出一个观点1.为什么向量放倒后(变成矩阵)与原运算结果相同?2.在几何上如何解释说明?3.放倒后的矩阵和原向量之间有什么关系?解答(原弹幕者):向量点积背后隐藏了一个隐式的线性变换,实际上做的,还是矩阵的线性变换,把矩阵变化成向量,形式上从矩阵乘向量变成向量乘向量,并把新形式命名为点积.(看了弹幕者的回答,他的问题提出的非常好,回答就有些啰嗦了.实际上,并不赞同,将矩阵和向量混淆(可能是我自己理解有误),其中的变换倒是更加愿意接受为,利用对偶性质,潜在的找到了对应的基向量,完成了这些变换)
5. 补充说明,一个向量可以表示为一种变换,当它真正描述线性变换时,向量转化成为矩阵.
6. 补充说明,点积中的其中一个向量可以看做是一个n维到1维的线性变换.