简单理解树上差分（点，边）
关于树上差分，我在这推荐一道题目POJ 3417 。
题目翻译：https://loj.ac/problem/10131。
树上差分用来解决点的覆盖或者边的覆盖的问题，需分别运用点的差分或者边的差分。
先从例题入手：
给定点数为N，边数为N-1的树（无向边且无重边），先有M条连接a,b的非树边，求每条“树边”被“非树边”覆盖了多少次？
边的差分：
先设一个F【x】，是一个差分数组，表示从X到X的父亲的边被覆盖的次数。对于每一次输入的a , b，朴素算法是O（n）的去遍历每一条边，这样的时间复杂度太高了，我们就可以用差分的思想去优化，就是树上差分，即F[a]++,F[b]++,F[lca(a,b)]-=2;
从X到X的父亲的边被覆盖的次数就是X的子树和了，前缀和的思想。
但是我无法证明这种方法，如果有神犇能证明，麻烦下方评论告知，O(∩_∩)O谢谢。
再来一道例题：
给定点数为N，边数为N-1的树（无向边且无重边），先有M条连接a,b的非树边，求每个“点”被“非树边”覆盖了多少次？
不难看出，这道题只是把“树边”改成了“点”。
点的差分：
设F【x】为x被覆盖的次数。修改F【X】的时候也要变化，还是输入a,b。修改的操作为F[a]++,F[b]++,F[lca(a,b)]--,F[father[lca(a,b)][0]]--;最后一个是LCA（a，b）的父亲。同样，X的子树和就是X点被覆盖的次数。求每个点的子树和只需要DFS一次，复杂度是O（NlogN）的。
实在不理解可以举2个例子模拟一下：
1.从a到b。a,b均不是LCA（a,b）。
2.从a到b。a，b其中之一为LCA（a,b）。
总结一下：树上差分用来解决“点的覆盖”或者“边的覆盖”的问题，是朴素的直接遍历算法的优化，将朴素算法覆盖的时间复杂度O（N*M），直接优化为O（N），时间复杂度十分优秀。