[协同过滤] : 交替最小二乘法

1. 基础回顾

矩阵的奇异值分解 SVD

（特别详细的总结，参考 http://blog.csdn.net/wangzhiqing3/article/details/7446444）

• 矩阵与向量相乘的结果与特征值，特征向量有关。
• 数值小的特征值对矩阵-向量相乘的结果贡献小

1）低秩近似

2）特征降维

相似度和距离度量

（参考 http://blog.sina.com.cn/s/blog_62b83291010127bf.html）

2. ALS 交替最小二乘（alternating least squares）

在机器学习中，ALS 指使用交替最小二乘求解的一个协同推荐算法。

• 它通过观察到的所有用户给商品的打分，来推断每个用户的喜好并向用户推荐适合的商品。

     

每一行代表一个用户（u1,u2,…,u8）, 每一列代表一个商品（v1,v2,…,v8）,用户的打分为1-9分。

这个矩阵只显示了观察到的打分，我们需要推测没有观察到的打分。

• ALS的核心就是这样一个假设：打分矩阵是近似低秩的。

换句话说，就是一个m*n的打分矩阵可以由分解的两个小矩阵U（m*k）和V（k*n）的乘积来近似，即 A=UV^T,k<=m,n 。这就是ALS的矩阵分解方法。

这样我们把系统的自由度从O(mn)降到了O((m+n)k)。

• 低维空间的选取。

这个低维空间要能够很好的区分事物，那么就需要一个明确的可量化目标，这就是重构误差。

在ALS中我们使用 F范数 来量化重构误差，就是每个元素重构误差的平方和。这里存在一个问题，我们只观察到部分打分，A中的大量未知元是我们想推断的，所以这个重构误差是包含未知数的。

解决方案很简单：只计算已知打分的重构误差。

     

 3. 协同过滤

协同过滤分析用户以及用户相关的产品的相关性，用以识别新的用户-产品相关性。

协同过滤系统需要的唯一信息是用户过去的行为信息，比如对产品的评价信息。

• 推荐系统依赖不同类型的输入数据，最方便的是高质量的显式反馈数据，它们包含用户对感兴趣商品明确的评价。例如，Netflix收集的用户对电影评价的星星等级数据。
• 但是显式反馈数据不一定总是找得到，因此推荐系统可以从更丰富的隐式反馈信息中推测用户的偏好。 隐式反馈类型包括购买历史、浏览历史、搜索模式甚至鼠标动作。

4. 显示反馈模型

通过内积 r_ij = u_i^T v_j 来预测，另外加入正则化参数 lamda 来预防 过拟合。

最小化重构误差：

 

5. 隐式反馈模型

偏好：二元变量 ，它表示用户 u 对商品 v的偏好

信任度：变量 ，它衡量了我们观察到的信任度

最小化损失函数：

6.  求解：最优化

1）显示和隐式的异同：

• 显示模型只基于观察到的值；隐式需要考虑不同的信任度，最优化时需要考虑所有可能的u，v对

2) 交替最小二乘求解：

即固定 uⁱ 求 vⁱ⁺¹ 再固定 vⁱ⁺¹  求 uⁱ⁺¹

7. 例子

import org.apache.spark.mllib.recommendation._
//处理训练数据
val data = sc.textFile("data/mllib/als/test.data")
val ratings = data.map(_.split(',') match { case Array(user, item, rate) =>
  Rating(user.toInt, item.toInt, rate.toDouble)
})

// 使用ALS训练推荐模型
val rank = 10
val numIterations = 10
val model = ALS.train(ratings, rank, numIterations, 0.01)

• ALS算法实现于org.apache.spark.ml.recommendation.ALS.scala文件中
• Rating也在recommendation里面