(imcomplete) UVa 10127 Ones

方法：暴力 数论

其实我们可以先证明一下为什么n（不被2和5整除）的一个倍数可以在十进制下被表示成1111111...111, 即证明存在一个形如1111...111的数可以被n整除。n 不能被2和5整除，可以得出 n 和 10 是 互质的（comprime），那么10 mod n 存在一个multiplicative order （https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_order）。然后我们设11111111...111 (ord_n(10) 个1） mod n = r （可以简单的证明出r＝1）, 那么 11111...111（n * ord_n(10) 个1) mod n = n*r = 0, 所以这样的数存在，而且最长不会超过 n*ord_n(10)。 当然这个上限很松，实际上实际得到的长度很小, 证明还在酝酿，希望得到大家的帮助。 暴力求解即可。

code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <set>
#include <list>
#include <deque>
#include <map>
#include <queue>
#include <fstream>
#include <cassert>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <sstream>
#include <time.h>
#include <complex>
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define FOR(a,b,c) for (int (a)=(b);(a)<(c);++(a))
#define FORN(a,b,c) for (int (a)=(b);(a)<=(c);++(a))
#define DFOR(a,b,c) for (int (a)=(b);(a)>=(c);--(a))
#define FORSQ(a,b,c) for (int (a)=(b);(a)*(a)<=(c);++(a))
#define FORC(a,b,c) for (char (a)=(b);(a)<=(c);++(a))
#define FOREACH(a,b) for (auto &(a) : (b))
#define rep(i,n) FOR(i,0,n)
#define repn(i,n) FORN(i,1,n)
#define drep(i,n) DFOR(i,n-1,0)
#define drepn(i,n) DFOR(i,n,1)
#define MAX(a,b) a = Max(a,b)
#define MIN(a,b) a = Min(a,b)
#define SQR(x) ((LL)(x) * (x))
#define Reset(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define ALLA(arr,sz) arr,arr+sz
#define SIZE(v) (int)v.size()
#define SORT(v) sort(all(v))
#define REVERSE(v) reverse(ALL(v))
#define SORTA(arr,sz) sort(ALLA(arr,sz))
#define REVERSEA(arr,sz) reverse(ALLA(arr,sz))
#define PERMUTE next_permutation
#define TC(t) while(t--)
#define forever for(;;)
#define PINF 1000000000000
#define newline '
'

#define test if(1)if(0)cerr
using namespace std;
  using namespace std;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<vi> vvi;
typedef pair<int,int> ii;
typedef pair<double,double> dd;
typedef pair<char,char> cc;
typedef vector<ii> vii;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll, ll> l4;
const double pi = acos(-1.0);

int main()
{
    int n;
    while (cin >> n)
    {
        int ret = 0;
        int residue = 1;
        for (int i = 1;; ++i)
        {
            ret += residue;
            ret %= n;
            if (ret == 0)
            {
                cout << i << newline;
                break;
            }
            residue = residue * 10 % n;
        }
    }
}