原文链接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.100.114101
发表在：PRL 2008
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传统的模型的coupling的形式，
其中，Aij 代表j到i的coupling强度，Aii=0, xi(t)是对应节点i的n维状态变量，H:Rn --> Rn, 一共有N个节点。
假设：对于节点i，
a. （1）式的第一项是可观测的信号，定义该信号为，
b. 不知道输入的强度和，i.e., ∑j Aij.
接下来考虑下面的形式，
γ：constan gain 对于所有的节点. 同步解，
存在， 当σi(t) 等于
注意到，当
式子（4）可以写成，
其中
并且行和都等于0. 如果存在同步解，那么（7）式的最后一项就恒等于0. 动力学方程就变成了没有coulping的形式，
在这种情况下，根据master stability function theory， 同步解的稳定性可以通过选取合适的couping γ 保证.
需要注意的是，如果σi(t) 不满足（5）式，就不能保证同步解的稳定性了。下面将试着去如何设计σi(t) ， 并且我们事先假设选取的 γ 能够使得同步解在σi(t) 满足（5）式时是稳定的。
在给出具体σi(t)的设计之前，对于节点i，我们先定义一个量，
并且选择ν满足，
其中τS和τN分别是节点动力系统xi(t)的time scale，网络结构Aij(t)的time scale. 有了上面的这个假设，（9）式中σi(t') 就可以用σi(t) 代替(我没怎么看出来。。)，从而近似（9）式，得到，
其中
对于（9）式，如果等于0，那么就是同步，所以可以通过梯度下降的方法求近似解Δi的最小值，即，
其中α是可调参数。 未来避免（12）和（13）式算积分，将其写成ODE的形式如下，
综上，设计的adaptive 策略可以用一组微分方程表示，i.e., 式子（4），（11），（15），（16）.
实验
考虑一个N个节点的随机网络，<k>N/2 条无向边，<k>是平均度。对于t=0时候，如果节点i和节点j有边，那么邻接矩阵Aij(0)=Aji(0)=1,否则Aij(0)=0. 当t>0的时候，假设网络的演化为，
εij是[0, 1]的随机数，ωij是[ωmin, ωmax]之间的随机数，ωmax > ωmin > 0 . 并且网络的时间尺度τN=(ωmax )-1, much longer than 节点动力学的时间尺度τS，i.e., τN>τS,
考虑Rossler oscillators，
为了简单起见，假设自适应过程（15）非常快. 让α→oo, 那么 σi(t) 快速收敛到γCi(t)/Bi(t). 这样子，我们可以之间把（11）式子替换成，
v以及Ci,Bi的初值对动力学是至关重要的。假设Aij(0)是已知的，我们让Ci(0)=Bi(0)×[ΣjAij(0)]-1, 从而能够在初始时刻满足式子(6).
因为耦合系统可能存在其它的吸引子，我们希望设计合适的初值Bij(0)，使得一开始耦合系统就落在同步解的吸引域中。为此，我们假设已经在同步解(8)上了，对式子（16）在时间轴上取平均，得到近似，Bi ≈ <si2>, 根据这个例子H(x)=(x, 0, 0)T, 我们有<si2>≈<k2><xS12>t, 其中<xS12>t是同步解（8）xS1(t)在时间轴上的平均， 即，
下面是数值结果，Figure 1(a)显示的是adaption (（16）和（18），（17）)的结果，几乎50个节点的演化轨迹都是一样的(几乎重合了) . Fig. 1(b)是没有adaption的结果， i.e.,
