UVa10426

 GCD Extreme (II)

Input: Standard Input Output:

Standard Output  

Given the value of N, you will have to find the value of G. The definition of G is given below:

  Here GCD(i,j) means the greatest common divisor of integer i and integer j.   For those who have trouble understanding summation notation, the meaning of G is given in the following code: G=0; for(i=1;i<N;i++) for(j=i+1;j<=N;j++) {     G+=gcd(i,j); } /*Here gcd() is a function that finds the greatest common divisor of the two input numbers*/   Input The input file contains at most 100 lines of inputs. Each line contains an integer N (1<N<4000001). The meaning of N is given in the problem statement. Input is terminated by a line containing a single zero.   Output For each line of input produce one line of output. This line contains the value of G for the corresponding N. The value of G will fit in a 64-bit signed integer.   Sample Input                          

 10 100 200000 0  

Output for Sample Input

67 13015 143295493160  

Problemsetter: Shahriar Manzoor

Special Thanks: Syed Monowar Hossain

/* 【题意】

求sum(gcd(i,j),1<=i<j<=n)1<n<4000001

【题解】 1.建立递推关系，s(n)=s(n-1)+gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n);

2.设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n)。

gcd(x,n)=i是n的约数（x<n），按照这个约数进行分类。设满足gcd（x,n）=i的约束有g(n,i)个，则有f(n)=sum(i*g(n,i))。

而gcd(x,n)=i等价于gcd(x/i,n/i)=1，因此g(n,i)等价于phi(n/i).phi(x)为欧拉函数。

3.降低时间复杂度。用筛法预处理phi[x]表

用筛法预处理f(x)->枚举因数，更新其所有倍数求解。

*/

/* 欧拉函数的应用，以后看到互质的数第一个就要想到欧拉函数。今天又学到了好多家伙。 欧拉定理： 欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)   费马小定理： 且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 */

//1285ms

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<set>
#include<vector>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int M=4000010;
int phi[M];
ll s[M],f[M];//f[n]=sum(phi[i]*j)    (i*j=n) (去掉n*phi[1],因为gcd（n,n）不符合题意！！)

int get(){
    char c;
    int res=0;
    while(c=getchar(),!isdigit(c));
    do{
        res=(res<<3)+(res<<1)+(c-'0');
    }while(c=getchar(),isdigit(c));
    return res;
}


void phi_table()//类似素数刷表！！ 
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<M;i++)phi[i]=i;    
    for(int i=2;i<M;i+=2)phi[i]/=2;    
    for(int i=3;i<M;i+=2)
    if(phi[i]==i)//说明i是素数！！！ 
    for(int j=i;j<M;j+=i)
    {
        phi[j]-=phi[j]/i;//保证i是素数且是j的素因子！！！ 
    }
}  

int main()
{
    int n,i,j,k;
    phi_table();
    memset(f,0,sizeof(f));
    phi[1]=0;
    for(i=1;i<(int)sqrt(M);i++)
    {
        f[i*i]+=phi[i]*i;
        for(n=i*i+i;n<M;n+=i)
        f[n]+=(ll)(i*phi[n/i]+n/i*phi[i]);//之前令phi[1]=0；因为gcd(n,n)不符合题意！！ 
    }        
    s[2]=1;
    for( n=3;n<M;n++)    s[n]=s[n-1]+f[n];
    while(1)
    {
        n=get();
        if(n==0)break;
        printf("%lld
",s[n]);
    }
    return 0;
}





//2382ms
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<set>
#include<vector>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll M=4000010;
ll phi[M];
ll s[M],f[M];

void phi_table()//类似素数刷表！！ 
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<M;i++)phi[i]=i;    
    for(int i=2;i<M;i+=2)phi[i]/=2;    
    for(int i=3;i<M;i+=2)

    if(phi[i]==i)//说明i是素数！！！ 
    for(int j=i;j<M;j+=i)
    {
        phi[j]-=phi[j]/i;//保证i是素数且是j的素因子！！！ 
    }
}  
int main()
{
    phi_table();
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1;i<M;i++)
    for(int n=i+i;n<M;n+=i)
        f[n]+=i*phi[n/i];
    s[2]=1;
    for(int n=3;n<M;n++)    s[n]=s[n-1]+f[n];
    int n;
    while(scanf("%d",&n)==1&&n)
    {
        printf("%lld
",s[n]);
    }
    return 0;
}





#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<set>
#include<vector>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll M=4100000;
ll phi[2*M];
ll s[M],f[M];

void phi_table()//类似素数刷表！！ 
{
    for(int i=2;i<=M;i++)phi[i]=0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=M;i++)
    if(!phi[i])//说明i是素数！！！ 
    for(int j=i;j<=M;j+=i)
    {
        if(!phi[j])phi[j]=j;
        phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//保证i是素数且是j的素因子！！！ 
    }
}  
int main()
{
    phi_table();
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=M;i++)
    for(int n=i+i;n<=M;n+=i)
        f[n]+=i*phi[n/i];
    s[2]=1;
    for(int n=3;n<=M;n++)    s[n]=s[n-1]+f[n];
    int n;
    while(scanf("%d",&n)==1&&n)
    {
        printf("%lld
",s[n]);
    }
    return 0;
}