持续同调

构建VR复形(维托里斯-里普斯复形)

在二维平面中，构建从圆形结构中取样的VR复形的可视化的主要步骤：

 随着-圆的大小不断变大，拓扑模型特征从诞生到消亡的图像。能保持更长时间的特征是有用的特征，而寿命很短的特征更可能是噪声。这个过程称为持续同调，因为它发现了在你持续变化  时，拓扑空间中持续存在的同源特征。

链群

单纯复形,  边界的边界总是 0

链复形

链复形：  是一个单纯  复形。  是  的  链，  ，链复形  是  
换句话说

现在我们可以定义怎么在单纯复形中找到  圈。

• 核：  的核（记作  ）是  链  的群，其中 
• 边界的像：边界  （一些  链的边界）的像  是边界的集合

同调群

• 第  个同调群：第  个同调群  定义为  。
• 连通数：第  个连通数  定义为  的维度，  。

贝蒂数

第 k 个贝蒂数是k维洞的个数。

Ex. 环面的贝蒂数 b₀ = 1, b₁ = 2, b₂ = 1

• b₀： 连通分量的个数
• b₁： 1维或者 "circular" holes 的个数
• b₂ ： 2维 "voids" or "cavities"的个数

b_k(X)=dim(H_k(X))：For a non-negative integer k, the kth Betti number b_k(X) of the space X is defined as the rank (number of linearly independent generators) of the abelian group H_k(X), the kth homology group of X.

例子：