持续同调

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持续同调
构建VR复形(维托里斯-里普斯复形)

在二维平面中，构建从圆形结构中取样的VR复形的可视化的主要步骤：

随着 $epsilon$ -圆的大小不断变大，拓扑模型特征从诞生到消亡的图像。能保持更长时间的特征是有用的特征，而寿命很短的特征更可能是噪声。这个过程称为持续同调，因为它发现了在你持续变化 $epsilon$ 时，拓扑空间中持续存在的同源特征。

链群

单纯复形, 边界的边界总是 0

链复形

链复形： $S$ 是一个单纯 $p$ 复形。 $C_n(S)$ 是 $S$ 的 $n$ 链， $n≤p$ ，链复形 $mathscr C(S)$ 是 $mathscr C(S) = sum^{p}_{n=0}partial(C_n(S)) \$
换句话说
$mathscr C(S) = partial(C_0(S)) + partial(C_1(S)) + ... + partial(C_p(S)) \$

现在我们可以定义怎么在单纯复形中找到 $p$ 圈。
- 核： $partial(C_n)$ 的核（记作 $Ker(partial(C_n))$ ）是 $n$ 链 $Z_n subseteq C_n$ 的群，其中 $partial(Z_n) = 0$
- 边界的像：边界 $partial_n$ （一些 $n$ 链的边界）的像 $Im(partial_n)$ 是边界的集合
同调群
- 第 $n$ 个同调群：第 $n$ 个同调群 $H_n$ 定义为 $H_n=Kerpartial_n/Impartial_{n+1}$ 。
- 连通数：第 $n$ 个连通数 $b_n$ 定义为 $H_n$ 的维度， $b_n = dim(H_n)$ 。
贝蒂数

第 k 个贝蒂数是k维洞的个数。

Ex. 环面的贝蒂数 b₀ = 1, b₁ = 2, b₂ = 1
- b₀：连通分量的个数
- b₁： 1维或者 "circular" holes 的个数
- b₂ ： 2维 "voids" or "cavities"的个数
b_k(X)=dim(H_k(X))：For a non-negative integer k, the kth Betti number b_k(X) of the space X is defined as the rank (number of linearly independent generators) of the abelian group H_k(X), the kth homology group of X.

例子：
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原文地址：https://www.cnblogs.com/skykill/p/9129543.html

链群

链复形

同调群

贝蒂数