[BJOI2010]次小生成树

OJ题号：
　　BZOJ1977、COGS2453

题目大意：
　　给你一个无向连通图，求严格次小生成树。

思路：
　　对于一般次小生成树，我们有一个结论：一般次小生成树一定可以通过替换掉最小生成树某一条边得到。
　　因此对于一般次小生成树，我们只需要枚举不在MST上的每一条边，并枚举这条边对应两点路径上的所有边，尝试交换这两条边即可。
　　显然枚举树上每一条边的复杂度是O(n)的，会TLE，因此我们可以用树剖或者树上倍增的方法记录区间最大边。
　　然而这题要求的是严格次小生成树，所以万一你枚举的这两条边相等就WA了。
　　为了保险起见，我们再记录区间最大边的同时，还要记录区间严格次大边。
　　然后枚举的时候只要判断当前区间最大边是否和那条非树边相等，如果相等的话就取那条次大边即可。
　　一开始因为没有权限号就去COGS上交，然后随随便便就A了，还跑了Rank1。
　　但是据说那里数据比较水，就找q234rty借了权限号，去BZOJ上交，果然WA了。
　　随机了一个小数据，发现是最后倍增求最大树边的时候最后一层没跳上去。
　　去网上拉了一个程序对拍，发现无限WA。
　　拿了一个数据手动模拟了一遍，发现原来是网上的题解错了。。

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<algorithm>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
const long long inf=0x7fffffffffffffffll;
const int V=100001,logV=18;
inline int log2(const float x) {
    return ((unsigned&)x>>23&255)-127;
}
class DisjointSet {
    private:
        int anc[V];
        int Find(const int &x) {
            return x==anc[x]?x:anc[x]=Find(anc[x]);
        }
    public:
        DisjointSet() {
            for(register int i=0;i<V;i++) {
                anc[i]=i;
            }
        }
        void Union(const int &x,const int &y) {
            anc[Find(x)]=Find(y);
        }
        bool isConnected(const int &x,const int &y) {
            return Find(x)==Find(y);
        }
};
DisjointSet s;
struct Edge1 {
    int u,v,w;
    bool inMST;
    bool operator < (const Edge1 &another) const {
        return w<another.w;
    }
};
std::vector<Edge1> e1;
struct Edge {
    int to,w;
};
std::vector<Edge> e[V];
inline void add_edge(const int &u,const int &v,const int &w) {
    e[u].push_back((Edge){v,w}); 
}
long long mst=0;
inline void kruskal() {
    std::sort(e1.begin(),e1.end());
    for(register unsigned i=0;i<e1.size();i++) {
        const int &u=e1[i].u,&v=e1[i].v,&w=e1[i].w;
        if(s.isConnected(u,v)) continue;
        s.Union(u,v);
        add_edge(u,v,w);
        add_edge(v,u,w);
        e1[i].inMST=true;
        mst+=w;
    }
}
int anc[V][logV],max[V][logV],max2[V][logV];
int dep[V];
std::queue<int> q;
inline void bfs() {
    q.push(1);
    while(!q.empty()) {
        const int x=q.front();
        q.pop();
        dep[x]=dep[anc[x][0]]+1;
        for(register int i=1;i<=log2(dep[x]);i++) {
            anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
            max[x][i]=std::max(max[x][i-1],max[anc[x][i-1]][i-1]);
            if(max[x][i-1]!=max[anc[x][i-1]][i-1]) {
                max2[x][i]=std::min(max[x][i-1],max[anc[x][i-1]][i-1]);
            } else {
                max2[x][i]=std::max(max2[x][i-1],max2[anc[x][i-1]][i-1]);
            }
        }
        for(register unsigned i=0;i<e[x].size();i++) {
            const int &y=e[x][i].to;
            if(y==anc[x][0]) continue;
            anc[y][0]=x;
            max[y][0]=e[x][i].w;
            q.push(y);
        }
    }
}
inline int maxEdge(int x,int y,const int &w) {
    int tmax=0;
    while(dep[x]!=dep[y]) {
        if(dep[x]<dep[y]) std::swap(x,y);
        for(register int i=log2(dep[x]);i>=0;i--) {
            if(dep[anc[x][i]]>=dep[y]) {
                if(max[x][i]<w) {
                    tmax=std::max(tmax,max[x][i]);
                } else if(max2[x][i]<w) {
                    tmax=std::max(tmax,max2[x][i]);
                }
                x=anc[x][i];
            }
        }
    }
    if(x==y) return tmax;
    for(register int i=log2(dep[x]);i>=0;i--) {
        if(anc[x][i]!=anc[y][i]) {
            if(max[x][i]<w) {
                tmax=std::max(tmax,max[x][i]);
            } else if(max2[x][i]<w) {
                tmax=std::max(tmax,max2[x][i]);
            }
            if(max[y][i]<w) {
                tmax=std::max(tmax,max[y][i]);
            } else if(max2[y][i]<w) {
                tmax=std::max(tmax,max2[y][i]);
            }
            x=anc[x][i],y=anc[y][i];
        }
    }
    if(max[x][0]<w) {
        tmax=std::max(tmax,max[x][0]);
    } else if(max2[x][0]<w) {
        tmax=std::max(tmax,max2[x][0]);
    }
    if(max[y][0]<w) {
        tmax=std::max(tmax,max[y][0]);
    } else if(max2[y][0]<w) {
        tmax=std::max(tmax,max2[y][0]);
    }
    return tmax;
}
int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("secmst.in","r+",stdin);
        freopen("secmst.out","w+",stdout);
    #endif
    int n=getint(),m=getint();
    for(register int i=1;i<=m;i++) {
        const int u=getint(),v=getint(),w=getint();
        e1.push_back((Edge1){u,v,w,false});
    }
    kruskal();
    bfs();
    long long ans=inf;
    for(register unsigned i=0;i<e1.size();i++) {
        if(e1[i].inMST) continue;
        const int &u=e1[i].u,&v=e1[i].v,&w=e1[i].w;
        ans=std::min(ans,mst-maxEdge(u,v,w)+w);
    }
    printf("%lld
",ans);
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        fclose(stdin),fclose(stdout);
    #endif
    return 0;
}