[CF903G]Yet Another Maxflow Problem

[CF903G]Yet Another Maxflow Problem

题目大意：

有(A)类点和(B)类点各(n(nle2 imes10^5))个，所有(A_i)到(A_{i+1})有一条权值为(a_i)的有向边，所有(B_i)到(B_{i+1})有一条权值为(b_i)的有向边，另有(m(mle2 imes10^5))条从(A_x)到(B_y)的权值为有向边。连续(q(qle2 imes10^5))次操作将(A_{v_i})与(A_{v_i+1})之间的边的权值改为(w_i)。问每次修改完毕后的从(A_1)到(B_n)的最大流。

思路：

根据最大流-最小割定理，题目所求相当于每次修改完毕后的最小割。定义(A)类点间的边为(A)类边，(B)类点间的边为(B)类边，(AB)类点间的边为(C)类边。假设两类边各(n-1)条之外还分别有一个边权为(0)的边，那么每次的最小割一定恰好包含一个(A)类边、一个(B)类边和若干(C)类边。由于(B)类边和(C)类边都不会被修改，则对于同一个(A)类边，对应的最优的(B)类边是固定的。方便起见，下文将(B_i)到(B_{i+1})的边记作(b_{i+1})，不同于题面描述。

考虑预处理每个(A)类边对应的最优(B)类边。不难发现，若我们选择了(a_i)和(b_j)两条边，要使得(A_1)与(B_n)不连通，则我们还需要割去所有连接(A_x,B_y(xle i,yge j))的(C)类边，而这也是选择(a_i)和(b_j)后的最小割。反过来说，连接(A_x,B_y)的(C)类边会对(a_i,b_j(xle i,yge j))的选择产生影响。因此我们可以(1sim n)枚举每个(a_i)，用线段树维护对应每个(b_j)所需要的最小割的大小。首先将所有(b_j)加入到线段树中，对于当前枚举到的(a_i)，枚举从(A_i)出发的所有(C)类边，若对应的点为(B_j)，权值为(w)，将区间([1,j])加上(w)，表示对于(a_i)及(a_i)以后的(A)类边，若还要考虑(b_j)及(b_j)以前的(B)类边作为对应边，一定要割去这条(C)类边。而每次插入后线段树最小元素就是对应当前(a_i)，由一个(B)类边和若干(C)类边组成的、能与(a_i)构成割的边权和，记这一边权和为(sum)，则选择(a_i)时的最小割为(sum+a_i)，记作(c_i)。

考虑修改操作，由于(a_i)对应的(B)类边和(C)类边已经确定，每次修改时(a_i)的变化也就是(c_i)的变化。用一些数据结构维护所有(c_i)的最小值即可。时间复杂度(mathcal O((m+q)log n))。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
using int64=long long;
inline int getint() {
	register char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return x;
}
constexpr int N=2e5+1;
int64 a[N],b[N],c[N];
using Edge=std::pair<int,int>;
std::vector<Edge> e[N];
class SegmentTree {
	#define _left <<1
	#define _right <<1|1
	private:
		int64 val[N<<2],tag[N<<2];
		void push_up(const int &p) {
			val[p]=std::min(val[p _left],val[p _right]);
		}
		void push_down(const int &p) {
			if(!tag[p]) return;
			val[p _left]+=tag[p];
			val[p _right]+=tag[p];
			tag[p _left]+=tag[p];
			tag[p _right]+=tag[p];
			tag[p]=0;
		}
	public:
		void build(const int &p,const int &b,const int &e,const int64 arr[]) {
			tag[p]=0;
			if(b==e) {
				val[p]=arr[b];
				return;
			}
			const int mid=(b+e)>>1;
			build(p _left,b,mid,arr);
			build(p _right,mid+1,e,arr);
			push_up(p);
		}
		void modify(const int &p,const int &b,const int &e,const int &l,const int &r,const int64 &v) {
			if(b==l&&e==r) {
				val[p]+=v;
				tag[p]+=v;
				return;
			}
			push_down(p);
			const int mid=(b+e)>>1;
			if(l<=mid) modify(p _left,b,mid,l,std::min(mid,r),v);
			if(r>mid) modify(p _right,mid+1,e,std::max(mid+1,l),r,v);
			push_up(p);
		}
		int64 query() const {
			return val[1];
		}
	#undef _left
	#undef _right
};
SegmentTree t;
int main() {
	const int n=getint(),m=getint(),q=getint();
	for(register int i=1;i<n;i++) {
		a[i]=getint(),b[i+1]=getint();
	}
	t.build(1,1,n,b);
	for(register int i=0;i<m;i++) {
		const int u=getint(),v=getint(),w=getint();
		e[u].push_back({v,w});
	}
	for(register int x=1;x<=n;x++) {
		for(register auto &j:e[x]) {
			const int &y=j.first,&w=j.second;
			t.modify(1,1,n,1,y,w);
		}
		c[x]=t.query()+a[x];
	}
	t.build(1,1,n,c);
	printf("%lld
",t.query());
	for(register int i=0;i<q;i++) {
		const int x=getint(),v=getint();
		t.modify(1,1,n,x,x,v-a[x]);
		a[x]=v;
		printf("%lld
",t.query());
	}
	return 0;
}