[CF183D]T-shirt

[CF183D]T-shirt

题目大意：

有(n(nle3000))个人和(m(mle300))种T恤，每个人都有一种喜欢的T恤，你知道每个人喜欢每种T恤的概率(p_{i,j})。

请你选定(n)件体恤的种类，人们会按照编号从(1sim n)挑选T恤，如果剩下还有他喜欢的，则会选走，否则不变。

求送出T恤件数的最大期望。

思路：

用(f[i][j][k])表示对于第(i)件T恤，前(j)个人中有(k)个人喜欢的概率。(g[i][j])表示对于第(i)种T恤，选取(j)件时对答案贡献的期望值。

(f)的转移方程显然，同时也不难得到(g)的状态转移方程：

[g[i][j]=sum_{k=0}^jkcdot f[i][n][k]+sum_{k=j+1}^njcdot f[i][n][k] ]

这样的动态规划是(mathcal O(nm^2))的。

考虑优化，对(g)的相邻两项作差，得到：

[g[i][j+1]-g[i][j]=1-sum_{k=0}^j f[i][n][k] ]

显然这个差值(Delta)表示再加入一条这样的T恤对答案的贡献，而它又是单调递减的，因此每次选取最大的(Delta)更新一定最优。

一开始只计算(f[i][j][0])和(Delta[i][0])，然后每次选取(Delta)最大的T恤更新答案，然后对相应的T恤进行更新(f)和(Delta)即可。这样可以同时省掉(f)的第三维。

时间复杂度(mathcal O(nm+n^2))。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
inline int getint() {
	register char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return x;
}
const int N=3001,M=301;
double p[N][M],f[M][N],del[M];
//f[i][j]: 第i种衣服前j个人有cnt[i]个人喜欢的概率
//del[i]: 新加入第i种衣服对答案的贡献
int main() {
	const int n=getint(),m=getint();
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		for(register int j=1;j<=m;j++) {
			p[i][j]=getint()/1000.;
		}
	}
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		f[i][0]=1;
		for(register int j=1;j<=n;j++) {
			f[i][j]=f[i][j-1]*(1-p[j][i]);
		}
		del[i]=1-f[i][n];
	}
	double ans=0;
	for(register int i=0;i<n;i++) {
		const int k=std::max_element(&del[1],&del[m]+1)-del;
		ans+=del[k];
		for(register int i=n;i>=1;i--) {
			f[k][i]=f[k][i-1]*p[i][k];
		}
		f[k][0]=0;
		for(register int i=2;i<=n;i++) {
			f[k][i]+=f[k][i-1]*(1-p[i][k]);
		}
		del[k]-=f[k][n];
	}
	printf("%.12f
",ans);
	return 0;
}