NYOJ--102--次方求模（快速求幂取模）

次方求模

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难度：3

 

描述

求a的b次方对c取余的值

 

输入

第一行输入一个整数n表示测试数据的组数（n<100）
每组测试只有一行，其中有三个正整数a,b,c(1=<a,b,c<=1000000000)

输出

输出a的b次方对c取余之后的结果

样例输入

3
2 3 5
3 100 10
11 12345 12345

样例输出

3
1
10481

/*
    Name: NYOJ--102--次方求模
    Copyright: ©2017 日天大帝
    Author: 日天大帝 
    Date: 28/04/17 20:31
    Description: 快速求幂取模
*/
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX = 1e8;
int pow(long long int n,long long int p,long long int c) {
    int m = 1;
    while(p > 0){
        if(p & 1)
            m = ((m%c) * (n%c)) %c;
        n = ((n%c)*(n%c)) %c;
        p = p>>1;
    }
    return m;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;cin>>n;
    while(n--)    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        cout<<pow(a,b,c)<<endl;
    }
    return 0;
}

公式求幂→二分求幂→快速求幂→快速求幂取模 

直接用C语言的库函数pow()（别忘了它的头文件#include<math.h>），似乎很简单，但是它的时间复杂度高达O(n)。 
显然，这很容易超时。 
于是有了下面的二分求幂（时间复杂度O(lgn)）

二分求幂的原理可以用下面这张图表示 

用递归来实现，虽然代码有点长，但是很好理解

 1 int pow(int a,int n)//返回值是a的n次方
 2 {
 3     if(n==0)//递归终止条件
 4         return 1;
 5     if(n==1)
 6         return a;
 7     int result=pow(a,n/2);//二分递归
 8     result=result*result;//这部分奇数偶数都一样
 9     if(n%2==1)//如果n是奇数，就要多乘一次
10         result=result*a;
11     return result;
12 }

用非递归，更加简洁

 1 int pow(int a,int n)//返回值是a的n次方
 2 {
 3     int result=1;
 4     while(n!=0)
 5     {
 6         if(n%2==1)//如果n是奇数
 7             result=result*a;//就要多乘一次
 8         a=a*a;
 9         n=n/2;//二分
10     }
11     return result;
12 }

快速幂顾名思义比二分幂又快一些， 
快速幂借助了强大的位运算，时间复杂度达到O(log₂N)。 
用非递归的代码实现

 1 int pow(int a,int n)//返回值是a的n次方
 2 {
 3     int result=1,flag=a;
 4     while(n!=0)
 5     {
 6         if(n&1)//如果n是奇数，即n的二进制最末位为1时
 7             result=result*flag;
 8         flag=flag*flag;
 9         n=n>>1;//n的二进制右移一位，即n/2
10     }
11     return result;
12 }

当然还能用递归来实现，但是太复杂，我没学会…

刷题中让直接求幂的不多，求幂后取模的却不少，毕竟求幂结果太大了。 
水平所限，只会用二分幂取模，时间复杂度与二分幂一样O(lgn)。 
基本可以在各种比赛中顺利通过，也是目前比较常用的方法

原理同样很简单，都是小学学过的：积的取余等于取余的积取余 
接下来用代码实现

 1 int pow(int a,int n,int b)//返回值是a的n次方对b取余后的值
 2 {
 3     int result=1;
 4     a=a%b;//积的取余等于取余的积取余
 5     while(n>0)
 6     {
 7         if(n%2==1)
 8             result=result*a%b;//n是奇数的话就要多乘一次，原理和前面的二分求幂一样
 9         n=n/2;//二分
10         a=a*a%b;//积的取余等于取余的积取余
11     }
12     return result;
13 }

影响计算机效率的是运算次数，而不是运算结果。 
所以前面几个算法都是通过增大运算结果，减少运算次数，提高计算机效率。