不同路径

题目描述：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

示例1：

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths
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示例2：

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

解题思路：

这题和昨天讲解的题目思路基本一致，甚至比昨天那题更简单。

创建二维数组dp，与原始网格的大小相同，dp[i][j] 表示从左上角出发到 (i,j)位置的路径。显然，dp[0][0] = 1。对于 dp 中的其余元素，通过以下状态转移方程计算元素值。

当 i>0 且 j=0 时，dp[i][0] = 1即求第一行结果
当 j>0 且 i=0 时，dp[0][j] = 1 即求第一列结果
当 i>0 且j>0 时，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] 即求剩余结果

代码实现:

// 空间复杂度 O(m*n)
func uniquePaths(m int, n int) int {
    dp := make([][]int, m)
    for i := 0; i < len(dp); i++ {
        dp[i] = make([]int, n)
    }
    dp[0][0] = 1
    for i := 1; i < m; i++ {
        dp[i][0] = 1
    }
    for j := 1; j < n; j++ {
        dp[0][j] = 1
    }
    for i := 1; i < m; i ++ {
        for j := 1; j < n; j++ {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        }
    }
    return dp[m-1][n-1]
}

　　并且可以优化空间，如下代码：

//go
// 空间复杂度 O(n)
func uniquePaths2(m int, n int) int {
 // 构建一个列长的一位数组（减少空间）
 dp := make([]int, n)
 // 初始化第一行每列的值为1
 for j := 0; j < n; j++ {
  dp[j] = 1
 }
 // 从第二行开始，动态计算每一列的值
 for i := 1; i < m; i ++ {
  for j := 1; j < n; j++ {
   dp[j] += dp[j-1]
  }
 }
 return dp[n-1]
}

　　地址：https://mp.weixin.qq.com/s/bNnF8irwaoILssoYJqAThQ