【实验目的】
理解K-近邻算法原理,能实现算法K近邻算法;
掌握常见的距离度量方法;
掌握K近邻树实现算法;
针对特定应用场景及数据,能应用K近邻解决实际问题。
【实验内容】
实现曼哈顿距离、欧氏距离、闵式距离算法,并测试算法正确性。
实现K近邻树算法;
针对iris数据集,应用sklearn的K近邻算法进行类别预测。
针对iris数据集,编制程序使用K近邻树进行类别预测。
【实验报告要求】
对照实验内容,撰写实验过程、算法及测试结果;
代码规范化:命名规则、注释;
分析核心算法的复杂度;
查阅文献,讨论K近邻的优缺点;
举例说明K近邻的应用场景。
k近邻法
1.(k)近邻法是基本且简单的分类与回归方法。(k)近邻法的基本做法是:对给定的训练实例点和输入实例点,首先确定输入实例点的(k)个最近邻训练实例点,然后利用这(k)个训练实例点的类的多数来预测输入实例点的类。
2.(k)近邻模型对应于基于训练数据集对特征空间的一个划分。(k)近邻法中,当训练集、距离度量、(k)值及分类决策规则确定后,其结果唯一确定。
3.(k)近邻法三要素:距离度量、(k)值的选择和分类决策规则。常用的距离度量是欧氏距离及更一般的pL距离。(k)值小时,(k)近邻模型更复杂;(k)值大时,(k)近邻模型更简单。(k)值的选择反映了对近似误差与估计误差之间的权衡,通常由交叉验证选择最优的(k)。
常用的分类决策规则是多数表决,对应于经验风险最小化。
4.(k)近邻法的实现需要考虑如何快速搜索k个最近邻点。kd树是一种便于对k维空间中的数据进行快速检索的数据结构。kd树是二叉树,表示对(k)维空间的一个划分,其每个结点对应于(k)维空间划分中的一个超矩形区域。利用kd树可以省去对大部分数据点的搜索, 从而减少搜索的计算量。
距离度量
设特征空间(x)是(n)维实数向量空间 ,(x_{i}, x_{j} in mathcal{X}),(x_{i}=left(x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}, cdots, x_{i}^{(n)}
ight)^{mathrm{T}}),(x_{j}=left(x_{j}^{(1)}, x_{j}^{(2)}, cdots, x_{j}^{(n)}
ight)^{mathrm{T}})
,则:(x_i),(x_j)的(L_p)距离定义为:
(L_{p}left(x_{i}, x_{j}
ight)=left(sum_{i=1}^{n}left|x_{i}^{(i)}-x_{j}^{(l)}
ight|^{p}
ight)^{frac{1}{p}})
- (p= 1) 曼哈顿距离
- (p= 2) 欧氏距离
- (p= infty) 切比雪夫距离
import math
from itertools import combinations
def L(x, y, p=2):
# x1 = [1, 1], x2 = [5,1]
if len(x) == len(y) and len(x) > 1:
sum = 0
for i in range(len(x)):
sum += math.pow(abs(x[i] - y[i]), p)
return math.pow(sum, 1 / p)
else:
return 0
x1 = [1, 1]
x2 = [5, 1]
x3 = [4, 4]
# x1, x2
for i in range(1, 5):
r = {'1-{}'.format(c): L(x1, c, p=i) for c in [x2, x3]}
print(min(zip(r.values(), r.keys())))
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from collections import Counter
# data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
# data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
df
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)
class KNN:
def __init__(self, X_train, y_train, n_neighbors=3, p=2):
"""
parameter: n_neighbors 临近点个数
parameter: p 距离度量
"""
self.n = n_neighbors
self.p = p
self.X_train = X_train
self.y_train = y_train
def predict(self, X):
# 取出n个点
knn_list = []
for i in range(self.n):
dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
knn_list.append((dist, self.y_train[i]))
for i in range(self.n, len(self.X_train)):
max_index = knn_list.index(max(knn_list, key=lambda x: x[0]))
dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
if knn_list[max_index][0] > dist:
knn_list[max_index] = (dist, self.y_train[i])
# 统计
knn = [k[-1] for k in knn_list]
count_pairs = Counter(knn)
# max_count = sorted(count_pairs, key=lambda x: x)[-1]
max_count = sorted(count_pairs.items(), key=lambda x: x[1])[-1][0]
return max_count
def score(self, X_test, y_test):
right_count = 0
n = 10
for X, y in zip(X_test, y_test):
label = self.predict(X)
if label == y:
right_count += 1
return right_count / len(X_test)
clf = KNN(X_train, y_train)
clf.score(X_test, y_test)
test_point = [6.0, 3.0]
print('Test Point: {}'.format(clf.predict(test_point)))
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.plot(test_point[0], test_point[1], 'bo', label='test_point')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
scikit-learn实例
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
clf_sk = KNeighborsClassifier()
clf_sk.fit(X_train, y_train)
clf_sk.score(X_test, y_test)
kd树
kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构。
kd树是二叉树,表示对(k)维空间的一个划分(partition)。构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将(k)维空间切分,构成一系列的k维超矩形区域。kd树的每个结点对应于一个(k)维超矩形区域。
构造kd树的方法如下:
构造根结点,使根结点对应于(k)维空间中包含所有实例点的超矩形区域;通过下面的递归方法,不断地对(k)维空间进行切分,生成子结点。在超矩形区域(结点)上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点,确定一个超平面,这个超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴,将当前超矩形区域切分为左右两个子区域
(子结点);这时,实例被分到两个子区域。这个过程直到子区域内没有实例时终止(终止时的结点为叶结点)。在此过程中,将实例保存在相应的结点上。
通常,依次选择坐标轴对空间切分,选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数
(median)为切分点,这样得到的kd树是平衡的。注意,平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的。
构造平衡kd树算法
输入:(k)维空间数据集(T={x_1,x_2,…,x_N}),
其中(x_{i}=left(x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}, cdots, x_{i}^{(k)} ight)^{mathrm{T}}) ,(i=1,2,…,N);
输出:kd树。
(1)开始:构造根结点,根结点对应于包含(T)的(k)维空间的超矩形区域。
选择(x^{(1)})为坐标轴,以T中所有实例的(x^{(1)})坐标的中位数为切分点,将根结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴(x^{(1)})垂直的超平面实现。
由根结点生成深度为1的左、右子结点:左子结点对应坐标(x^{(1)})小于切分点的子区域, 右子结点对应于坐标(x^{(1)})大于切分点的子区域。
将落在切分超平面上的实例点保存在根结点。
(2)重复:对深度为(j)的结点,选择(x^{(1)})为切分的坐标轴,(l=j(modk)+1),以该结点的区域中所有实例的(x^{(1)})坐标的中位数为切分点,将该结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴(x^{(1)})垂直的超平面实现。
由该结点生成深度为(j+1)的左、右子结点:左子结点对应坐标(x^{(1)})小于切分点的子区域,右子结点对应坐标(x^{(1)})大于切分点的子区域。
将落在切分超平面上的实例点保存在该结点。
(3)直到两个子区域没有实例存在时停止。从而形成kd树的区域划分。
# kd-tree每个结点中主要包含的数据结构如下
class KdNode(object):
def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
self.dom_elt = dom_elt # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
self.split = split # 整数(进行分割维度的序号)
self.left = left # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
self.right = right # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree
class KdTree(object):
def __init__(self, data):
k = len(data[0]) # 数据维度
def CreateNode(split, data_set): # 按第split维划分数据集exset创建KdNode
if not data_set: # 数据集为空
return None
# key参数的值为一个函数,此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
# operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据,参数为需要获取的数据在对象中的序号
#data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要进行分割的那一维数据排序
data_set.sort(key=lambda x: x[split])
split_pos = len(data_set) // 2 # //为Python中的整数除法
median = data_set[split_pos] # 中位数分割点
split_next = (split + 1) % k # cycle coordinates
# 递归的创建kd树
return KdNode(
median,
split,
CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]), # 创建左子树
CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:])) # 创建右子树
self.root = CreateNode(0, data) # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点
# KDTree的前序遍历
def preorder(root):
print(root.dom_elt)
if root.left: # 节点不为空
preorder(root.left)
if root.right:
preorder(root.right)
# 对构建好的kd树进行搜索,寻找与目标点最近的样本点:
from math import sqrt
from collections import namedtuple
# 定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple",
"nearest_point nearest_dist nodes_visited")
def find_nearest(tree, point):
k = len(point) # 数据维度
def travel(kd_node, target, max_dist):
if kd_node is None:
return result([0] * k, float("inf"),
0) # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负无穷
nodes_visited = 1
s = kd_node.split # 进行分割的维度
pivot = kd_node.dom_elt # 进行分割的“轴”
if target[s] <= pivot[s]: # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
nearer_node = kd_node.left # 下一个访问节点为左子树根节点
further_node = kd_node.right # 同时记录下右子树
else: # 目标离右子树更近
nearer_node = kd_node.right # 下一个访问节点为右子树根节点
further_node = kd_node.left
temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist) # 进行遍历找到包含目标点的区域
nearest = temp1.nearest_point # 以此叶结点作为“当前最近点”
dist = temp1.nearest_dist # 更新最近距离
nodes_visited += temp1.nodes_visited
if dist < max_dist:
max_dist = dist # 最近点将在以目标点为球心,max_dist为半径的超球体内
temp_dist = abs(pivot[s] - target[s]) # 第s维上目标点与分割超平面的距离
if max_dist < temp_dist: # 判断超球体是否与超平面相交
return result(nearest, dist, nodes_visited) # 不相交则可以直接返回,不用继续判断
#----------------------------------------------------------------------
# 计算目标点与分割点的欧氏距离
temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2)**2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))
if temp_dist < dist: # 如果“更近”
nearest = pivot # 更新最近点
dist = temp_dist # 更新最近距离
max_dist = dist # 更新超球体半径
# 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
temp2 = travel(further_node, target, max_dist)
nodes_visited += temp2.nodes_visited
if temp2.nearest_dist < dist: # 如果另一个子结点内存在更近距离
nearest = temp2.nearest_point # 更新最近点
dist = temp2.nearest_dist # 更新最近距离
return result(nearest, dist, nodes_visited)
return travel(tree.root, point, float("inf")) # 从根节点开始递归
data = [[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]]
kd = KdTree(data)
preorder(kd.root)
from time import clock
from random import random
# 产生一个k维随机向量,每维分量值在0~1之间
def random_point(k):
return [random() for _ in range(k)]
# 产生n个k维随机向量
def random_points(k, n):
return [random_point(k) for _ in range(n)]
ret = find_nearest(kd, [3,4.5])
print (ret)
N = 400000
t0 = clock()
kd2 = KdTree(random_points(3, N)) # 构建包含四十万个3维空间样本点的kd树
ret2 = find_nearest(kd2, [0.1,0.5,0.8]) # 四十万个样本点中寻找离目标最近的点
t1 = clock()
print ("time: ",t1-t0, "s")
print (ret2)
实验结果
time: 6.945672 s
Result_tuple(nearest_point=[0.097329902511892, 0.49823498137918865, 0.7964108251004665], nearest_dist=0.004809042294184305, nodes_visited=42)
实验小结
1.K近邻的优缺点
优点:
(1)简单,易于理解,易于实现,无需估计参数。
(2)训练时间为零。它没有显示的训练,不像其它有监督的算法会用训练集train一个模型(也就是拟合一个函数),然后验证集或测试集用该模型分类。KNN只是把样本保存起来,收到测试数据时再处理,所以KNN训练时间为零。
(3)KNN可以处理分类问题,同时天然可以处理多分类问题,适合对稀有事件进行分类。
(4)特别适合于多分类问题(multi-modal,对象具有多个类别标签), KNN比SVM的表现要好。
(5)KNN还可以处理回归问题,也就是预测。
(6)和朴素贝叶斯之类的算法比,对数据没有假设,准确度高,对异常点不敏感。
缺点:
(1)计算量太大,尤其是特征数非常多的时候。每一个待分类文本都要计算它到全体已知样本的距离,才能得到它的第K个最近邻点。
(2)可理解性差,无法给出像决策树那样的规则。
(3)是慵懒散学习方法,基本上不学习,导致预测时速度比起逻辑回归之类的算法慢。
(4)样本不平衡的时候,对稀有类别的预测准确率低。当样本不平衡时,如一个类的样本容量很大,而其他类样本容量很小时,有可能导致当输入一个新样本时,该样本的K个邻居中大容量类的样本占多数。
(5)对训练数据依赖度特别大,对训练数据的容错性太差。如果训练数据集中,有一两个数据是错误的,刚刚好又在需要分类的数值的旁边,这样就会直接导致预测的数据的不准确。
2.K近邻应用场合
题目描述:海伦喜欢在在线约会网站寻找适合自己的对象,但是她不是喜欢每一个人。她发现交往过三种类型的人:
1.不喜欢的人
2.魅力一般的人
3.极具魅力的人
所以需要对网站的对象归入恰当的分类。她周一到周五喜欢魅力一般的人,而周末则更喜欢极具魅力的人。所以需要根据数据来分类