相信来看next数组如何求解的童鞋已经对KMP算法是怎么回事有了一定的了解，这里就不再赘述，附上一个链接吧：https://www.cnblogs.com/c-cloud/p/3224788.html，里面对KMP算法有详细的讲解，如果你还不了解KMP算法，可以看看~~。
下面就来讲解不容易理解但又很重要的next数组，相信这是你看过的最容易理解的next数组的讲解了(*^_^*)。
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一、首先，next数组是什么？
简单来说，假设我们有一个主串S和一个模式串T，并且想知道S是否包含T，如果包含，那么T第一次出现在S中的首字符在什么位置？有一种暴力求法：当S[i]!=T[j]的时候，j回溯到j=0,而i回溯到i=i-j+1,这种方法简答粗暴，但效率低下，时间复杂度的范围是（最好与最坏情况）：O（n+m）~O（n*m）,其中，n为主串S的长度，m为模式串T的长度；KMP算法对这种BF算法做了很大的改进，其基本思想是主串S不进行回溯，而是希望某趟在S[i]和T[j]匹配失败后，下标i不回溯，下标j回溯到某个位置K，使得T[K]对准S[i]继续进行比较。显然，关键问题是如何确定位置K。而这里的next数组表示的就是这个K值！需要注意的是，这个K值仅依赖于模式串T本身字符序列的构成，与主串S无关。
二、朴素模式匹配算法BF
这里给出BF代码，很简单，就不做具体说明了。
int BF(string S, string T) { int i = 0; // S 的下标 int j = 0; // T的下标 int s_len = S.size(); // 字符串长度 int t_len = T.size(); if(s_len<t_len) return -1; while (i < s_len && j < t_len) { if (S[i] == t[j]) // 相等，则都前进一步 { i++; j++; } else // 回溯 { i = i - j + 1; j = 0; } } if (j == t_len) // 匹配成功 return i - j; return -1; }
时间复杂度的范围是（最好与最坏情况）：O（n+m）~O（n*m）,其中，n为主串S的长度，m为模式串T的长度。
三、改进的模式匹配算法KMP
KMP算法的核心是如何求出next数组！next数组其实就是查找T中每一位前面的子串的前后缀有多少位匹配，从而决定j失配时应该回退到哪个位置（前后缀的概念请看附录）。
文字总是枯燥的，如果图文并茂，那就更好了！好了，上图！
这个图画的就是T这个要查找的关键字字符串。假设我们有一个空的next数组，我们的工作就是要在这个next数组中填值。
下面我们用数学归纳法来解决这个填值的问题。
这里我们借鉴数学归纳法的三个步骤（或者说是动态规划？）：
1、初始状态
2、假设第j位以及第j位之前的我们都填完了
3、推论第j+1位该怎么填
初始状态我们稍后再说，我们这里直接假设第j位以及第j位之前的我们都填完了。也就是说，从上图来看，我们有如下已知条件：
next[j] == k;
next[k] == 绿色色块所在的索引;
next[绿色色块所在的索引] == 黄色色块所在的索引;
我们来看下面一个图，可以得到更多的信息：
1.由"next[j] == k;"这个条件，我们可以得到A1子串 == A2子串（根据next数组的定义，前后缀那个）。
2.由"next[k] == 绿色色块所在的索引;"这个条件，我们可以得到B1子串 == B2子串。
3.由"next[绿色色块所在的索引] == 黄色色块所在的索引;"这个条件，我们可以得到C1子串 == C2子串。
4.由1和2(A1 == A2，B1 == B2)可以得到B1 == B2 == B3。
5.由2和3(B1 == B2， C1 == C2)可以得到C1 == C2 == C3。
6.B2 == B3可以得到C3 == C4 == C1 == C2
接下来，我们开始用上面得到的条件来推导如果第j+1位失配时，我们应该填写next[j+1]为多少？
next[j+1]即是找T从0到j这个子串的最大前后缀：
#：(#:在这里是个标记，后面会用)我们已知A1 == A2，那么A1和A2分别往后增加一个字符后是否还相等呢？我们得分情况讨论：
(1)如果T[k] == T[j]，很明显，我们的next[j+1]就直接等于k+1。用代码来写就是next[++j] = ++k;
(2)如果T[k] != T[j]，那么我们只能从已知的，除了A1，A2之外，最长的B1，B3这个前后缀来做文章了。
那么B1和B3分别往后增加一个字符后是否还相等呢？
由于next[k] == 绿色色块所在的索引，我们先让k = next[k]，把k挪到绿色色块的位置，这样我们就可以递归调用"#："标记处的逻辑了。
由于j+1位之前的next数组我们都是假设已经求出来了的，因此，上面这个递归总会结束，从而得到next[j+1]的值。
我们唯一欠缺的就是初始条件了：next[0] = -1, k = -1, j = 0另外有个特殊情况是k为-1时，不能继续递归了，此时next[j+1]应该等于0，即把j回退到首位。
即 next[j+1] = 0; 也可以写成next[++j] = ++k;
接下来就是代码实现next数组（C++版）：
1 int* getNext(string T) 2 { 3 int T_len = T.size(); 4 int* next = new int[T_len]; // 声明next数组 5 int i = 0; // T的下标 6 int j = -1; 7 next[0] = -1; 8 while (i < T_len) 9 { 10 if (j == -1 || T[i] == T[j]) 11 { 12 next[++i] = ++j; 13 } 14 else 15 j = next[j]; 16 } 17 return next; 18 19 }
KMP优化：
如果T[k] == T[j]，很明显，我们的next[j+1]就直接等于k+1。用代码来写就是next[++j] = ++k;可是我们知道，第j+1位是失配了的，如果我们回退j后，发现新的j(也就是此时的++k那位)跟回退之前的j也相等的话，必然也是失配。所以还得继续往前回退。
1 int* getNext(string T) 2 { 3 int T_len = T.size(); 4 int* next = new int[T.size()]; // 声明next数组 5 int i = 0; // T的下标 6 int j = -1; 7 next[0] = -1; 8 while (i < T_len) 9 { 10 if (j == -1 || T[i] == T[j]) 11 { 12 if (T[i + 1] == T[j + 1]) //KMP优化 13 next[++i] = next[++j]; 14 else 15 next[++i] = ++j; 16 } 17 else 18 j = next[j]; 19 } 20 return next; 21 22 }
完整代码C++：
1 #include <iostream> 2 #include <string> 4 using namespace std; 5 //获取next数组 6 int* getNext(string T) 7 { 8 int* next = new int[T.size()]; // 声明next数组 9 int T_len = T.size(); 10 int i = 0; // T的下标 11 int j = -1; 12 next[0] = -1; 13 while (i < T_len) 14 { 15 if (j == -1 || T[i] == T[j]) 16 { 17 if (T[i + 1] == T[j + 1]) //KMP优化 18 next[++i] = next[++j]; 19 else 20 next[++i] = ++j; 21 } 22 else 23 j = next[j]; 24 } 25 return next; 26 27 } 28 29 // KMP算法,在 S 中找到 T 第一次出现的位置 30 int KMP(string S, string T) // S为主串，T为模式串 31 { 32 int* next = getNext(T); 33 int i = 0; // S下标 34 int j = 0; // T下标 35 int s_len = S.size(); 36 int t_len = T.size(); 37 while (i < s_len && j < t_len) 38 { 39 if (j == -1 || S[i] == T[j]) //T 的第一个字符不匹配或S[i] == T[j] 40 { 41 i++; 42 j++; 43 } 44 else 45 j = next[j]; // 当前字符匹配失败，进行跳转 46 } 47 if (j == t_len) // 匹配成功 48 return i - j; 49 return -1; 50 } 51 52 53 int main() 54 { 55 string S = "bbc abcdab abcdabcdabde"; 56 string T = "abcdabd"; 57 int num = KMP(S, T); 58 cout << num<<endl; 59 system("pause"); 60 return 0; 61 }
附录：关于前后缀
来一张图片说明吧：
由上图所得， "前缀" 指除了自身以外，一个字符串的全部头部组合；"后缀" 指除了自身以外，一个字符串的全部尾部组合。
参考文献：
[1]王红梅, 胡明, 王涛. 数据结构(C++版)[M]. 北京：清华大学出版社, 2011：83-85.
[2]唐小喵的博客：http://www.cnblogs.com/tangzhengyue/p/4315393.html#3831240