动态规划学习心得
说实话吧，动态规划（DP）确实是一个比较难的知识点，对于初学者来说，是一个难过的坎（笔者的脸呢？开玩笑。）。动态规划就是我从初学开始遇到的最神奇的解法，它不同于暴力搜索，也不同于一般的贪心，能够以出乎人意料的时间复杂度（近似于O（n^2））解决一些难题，算法远远优于一般的深搜（O（2^n））。不过，动态规划的思维性比较强，必须会设好状态，正确写出状态转移方程，并且能够准确判断有无最优子结构。
其实有点像贪心，但是它有局部最优解推导向整体最优解的过程，形象一点说，动态规划的“眼光”比贪心更长远，有一个更新最优解的过程，发现问题了可以“反悔”。它还有一点分治的味道，通过对问题划分各个阶段，对各个阶段分别求解，最后推向整体的过程。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
学习动态规划是一个比较漫长的过程，需要慢慢领悟，去体会动态规划的奥义。显然，多做题，多思考是必需的，坚持下去，慢慢就能学会了。
下面详细地描述一下：
一.动态规划的表示方法：
一般地，动态规划有两种表示方法，分别是：1.递推 2.记忆化搜索。
这两种方法各有优缺点，递推的效率更高，可以降维节省空间，能使用滚动数组，但思维性强，难度高。而记忆化搜索更好写，更便于理解，不容易出错，但容易超空间。有时候状态数目多，记忆化搜索就不行了，会超空间。但是递推是绝对没有问题的，只要会滚动数组或者降维。所以，我比较推荐递推的方法，更能够锻炼我们的算法能力。所以我们一般用递推的方法解决动态规划的问题。
例如：下面的代码就是一种递推：
f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+a[i][j];
至于记忆化搜索，也上一波代码：
int dfs(int k,int j)
{
if(f[k][j]) return f[k][j];
if(k == n) return a[k][j];
temp1 = dfs(k+1 , j);
temp2 = dfs(k+1 , j+1);
f[k][j] = max(temp1 , temp2)+a[k][j];
}
（以上代码以题目数字三角形为例）。
二.动态规划的条件：
动态规划有两个必要条件：
1.无后效性.
2.最优子结构.
无后效性：
标准定义是这样的：将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。
最优子结构：
标准定义是这样的:一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
三.动态规划的分类及解决过程：
分类：
动态规划分为：
1.基本线性动规： 比较基础的DP入门
2.背包动规 背包问题，见某大佬著作《背包九讲》
3.区间动规 区间型的动态规划
4.双进程动规 分为两个进程，一般只需要增加一个维度表示状态就可以了。
5.树状动规 在树上做动态规划，较为高级。
6.各种优化...............等等
解决过程：
第一步：读懂题意，看看题目是否可以满足动态规划的条件（及是否可以用动态规划解决）。
第二步：根据题目所给的条件划分阶段，可以是题目给定的顺序，或者是贪心的顺序，或者是特殊的顺序。
第三步：根据阶段设置状态，一般用f数组表示，最基本规则：求什么设什么，必须满足无后效性 。当感觉是dp，但是当前状态不满足必要条件的时候，状态+维。
第四步：推出状态转移方程式，能够表示当前最优值和前面最优值的关系。
第五步：代码实现，检查前面的步骤是否正确。
四.动态规划经典例题详解：
1.基本线性动规：
hloj#402护卫队
见链接：https://www.cnblogs.com/smilke/p/10502784.html（本蒟蒻的一篇博客题解，如有不当之处欢迎指出）
2.背包动规：
【背包】采药
题目描述
宁智贤是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。
医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。
医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。
如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是宁智贤，你能完成这个任务吗？
输入格式
输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
样例数据
input
70 3
71 100
69 1
1 2output
3数据规模与约定
时间限制：1s
空间限制：256MB
----------------------------------------我是美美的分割线-------------------------------------------------------
这道题就是最基本的01背包，对于每件物品，我们有取和不取两种选择.
首先定义状态f[i][j]以j为容量为放入前i个物品(按i从小到大的顺序)的最大价值，那么i=1的时候，放入的是物品1，这时候肯定是最优的.
由此，我们推出状态转移方程:f[i][j] = max(f[i-1][j-w[i]])+v[i]，f[i-1][j])；
其实，这道题还有一个滚动数组优化，可以优化第一维的空间。
优化后的状态转移方程：f[j]=max(f[j-w[i]]+v[i],f[j])；
下面是代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,m;
int w[100010],v[100010];
int f[100010];
int main()
{
freopen("input.in","r",stdin);
freopen("output.out","w",stdout);
cin>>m>>t;
for(int i=1;i<=t;i++)
cin>>w[i]>>v[i];
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=m;j>=w[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
}
cout<<f[m];
return 0;
}
3.区间动规：
【区间动规】石子合并
题目描述
在操场上沿一直线排列着n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。
规定每次只能选相邻的两堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数计为该次合并的得分。
我们希望这n−1次合并后得到的得分总和最小。
输入格式
第一行有一个正整数n（n<=300)，表示石子的堆数； 第二行有n个正整数，表示每一堆石子的石子数，每两个数之间用一个空格隔开。它们都不大于10000。
输出格式
一行，一个整数，表示答案。
样例数据
input
3
1 2 9output
15数据规模与约定
区间dp第一题
时间限制：1s
空间限制：256MB
--------------------------------------------我是华丽的分割线-----------------------------------------------------
这样我们可以定义状态f[i][j]，表示i到j合并后的最大得分。其中1<=i<=j<=N。
既然这样，我们就需要将这一圈石子分割。很显然，我们需要枚举一个k，来作为这一圈石子的分割线。
这样我们就能得到状态转移方程：
f[i][j] = max(f[i][k] + f[k+1][j] + d(i,j));
其中，1<=i<=<=k<j<=N。d(i,j)表示从i到j石子个数的和。
下面是代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define din(a) (scanf("%d",&a));
#define dout(a) (printf("%d
",a));
#define ll long long
using namespace std;
int m,k;
int n;
int a[101000];
int f[1001][1001];
int sumn[1001];
int cost[1001][1001];
void work_cost()//计算合并的代价/得分.
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i;j<=n;j++)
cost[i][j]=sumn[j]-sumn[i-1];
}
void init()
{
din(n);//初始化
memset(f,0,sizeof(f));
memset(sumn,0,sizeof(sumn));
sumn[0]=0;//计算石子总数，方便累加得分.
for(int i=1;i<=n;i++){
din(a[i]);
sumn[i]=sumn[i-1]+a[i];
}
work_cost();
}
void work() //区间动规
{
for(int p=1;p<=n;p++)
for(int i=1;i<=n;i++){
int j=i+p-1;
if(j>n) break;
for(int k=i;k<j;k++)
if((f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+cost[i][j]||(f[i][j]==0)))
f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+cost[i][j];
}
}
int main()
{
freopen("Stone.in","r",stdin);
freopen("Stone.out","w",stdout);
init();
work();
dout(f[1][n]);
return 0;
}
4.双进程DP
构建双塔
题目描述
2001年9月11日，一场突发的灾难将纽约世界贸易中心大厦夷为平地，Mr. F曾亲眼目睹了这次灾难。为了纪念“911”事件，Mr. F决定自己用水晶来搭建一座双塔。
Mr. F有N块水晶，每块水晶有一个高度，他想用这N块水晶搭建两座有同样高度的塔，使他们成为一座双塔，Mr. F可以从这N块水晶中任取M（1≤M≤N）块来搭建。但是他不知道能否使两座塔有同样的高度，也不知道如果能搭建成一座双塔，这座双塔的最大高度是多少。所以他来请你帮忙。
给定水晶的数量NN（1≤N≤100）和每块水晶的高度Hi（N块水晶高度的总和不超过2000），你的任务是判断Mr. F能否用这些水晶搭建成一座双塔（两座塔有同样的高度），如果能，则输出所能搭建的双塔的最大高度，否则输出“ImpossibleImpossible”。
输入格式
输入的第一行为一个数N，表示水晶的数量。
第二行为N个数，第i个数表示第i个水晶的高度。
输出格式
输出仅包含一行，如果能搭成一座双塔，则输出双塔的最大高度，否则输出一个字符串“Impossible”。
样例数据
input
5
1 3 4 5 2output
7数据规模与约定
时间限制：1s
空间限制：256MB
-------------------我还是华丽的分割线-------------------------------
水晶放置在任意一座塔上都会对另一座塔产生影响，故属于双进程问题。
f[i][j]表示取前i块水晶、两塔差为j时较高塔的最大高度。
注意，这里的f[i][j]都是从上一阶段推得的。我们在面对第i块水晶时，它可能是从以下四种决策得来的：
f[i][j]=max(f[i−1][j])f[i][j]=max(f[i−1][j]) . 这块水晶被丢掉了。
f[i][j]=max(f[i−1][j+h[i]])f[i][j]=max(f[i−1][j+h[i]]) . 这块水晶被给了上一个状态中较低的那座塔，且它未超过较高的塔，由图可知较高塔的最大高度是不变的。
f[i[][j]=max(f[i−1][j−h[i]]+h[i])f[i[][j]=max(f[i−1][j−h[i]]+h[i]) .这块水晶被给了上一个状态中较高的塔，由图可知，较高塔的值增加了h[i]h[i]。
当然，此时我们要保证j>h[i]j>h[i]。f[i][j]=max(f[i−1][h[i]−j]+j)f[i][j]=max(f[i−1][h[i]−j]+j) .这块水晶被给了上一阶段较低的塔，且它超过了较高塔。由图可知，较高塔的值增加了jj。
（感谢hh大佬提供思路）。
以下为代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int h[10010];
int f[1010][1010];
int n,sum=0;
int main()
{
freopen("input.in","r",stdin);
freopen("output.out","w",stdout);
memset(f,-10,sizeof(f));
f[0][0]=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&h[i]);
sum+=h[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=sum;j++)//f[i][j]表示前i个水晶选择完后，落差为j时的最优值
{
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j+h[i]]);//不要水晶和要水晶的最优。
if(j>=h[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j-h[i]]+h[i],f[i][j]);
else
f[i][j]=max(f[i-1][h[i]-j]+j,f[i][j]);//状态转移
}
if(f[n][0]) printf("%d
",f[n][0]);
else
printf("Impossible");
return 0;
}
5.树形动规
树形DP例题1
题目描述
给定一棵n个点的无权树，问树中每个节点的深度和每个子树的大小? （以1号点为根节且深度为0）
输入格式
第1行：n。
第2~n行：每行两个数x,y，表示x,y之间有一条边。
输出格式
n行，每行输出格式为：#节点编号 deep：深度 count：子树节点数（详见样例）
样例数据
input
7
1 2
2 3
1 4
3 5
1 6
3 7output
#1 deep:0 count:7
#2 deep:1 count:4
#3 deep:2 count:3
#4 deep:1 count:1
#5 deep:3 count:1
#6 deep:1 count:1
#7 deep:3 count:1数据规模与约定
15% n<=10;
40% n<=1000;
100% n<=100000;
------------------------------我又是美美的分割线-------------------------------
基本的树形，建立一个领接表就OK了。
话不多说，直接上代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,p;
int head[1001000],size[1001000],dep[1001000];
int cnt=0;
int x,y;
struct node
{
int to,next;
}e[1001000];
void add(int x,int y)
{
cnt++;
e[cnt].to=y;
e[cnt].next=head[x];
head[x]=cnt;
}
void dfs(int x,int fa,int depth)
{
size[x]=1;
dep[x]=depth;
for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==fa) continue;
dfs(v,x,depth+1);
size[x]+=size[v];
}
}
int main()
{
freopen("tree.in","r",stdin);
freopen("tree.out","w",stdout);
memset(dep,0,sizeof(dep));
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n-1;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
dfs(1,0,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
printf("#%d deep:%d count:%d
",i,dep[i],size[i]);
}
return 0;
}
五.动态规划的意义：
动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不像搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。
好好理解动态规划吧！