内积（又名点积）

点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。[1] 

广义定义

在一个向量空间V中，定义在

  

上的正定对称双线性形式函数即是V的数量积，而添加有一个数量积的向量空间即是内积空间。

代数定义

设二维空间内有两个向量

  

和

  

，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：

更一般地，n维向量的内积定义如下：[1] 

几何定义

设二维空间内有两个向量

  

和

  

，它们的夹角为

  

，则内积定义为以下实数：[2] 

该定义只对二维和三维空间有效。

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。