树状数组之图腾计数

题目

思路

开始码了遍暴力

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[200000+10];
int cnt1,cnt2;
int main(){
	int n;scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	if(n<3){
		printf("0
");
		printf("0
");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n-2;i++){
		for(int j=i+1;j<=n-1;j++){
			for(int k=j+1;k<=n;k++){
				if(a[i]<a[j]&&a[k]<a[j])cnt2++;
				if(a[i]>a[j]&&a[k]>a[j])cnt1++;
			}
		}
	}
	
	printf("%d ",cnt1);
	printf("%d
",cnt2);
	return 0;
}

不用想肯定是错的，所以就去想其他思路

• 对于某一个柱子，可以求它左右延伸的距离

于是我想到了单调栈，和-->这道题,不过显然这样是不对的，经过一番折腾后，get到了如下思路

• 对于某一个柱子，维护其左右两边比其矮的个数，左右相乘为以该柱子为中心上凸的情况数
• 对于某一个柱子，维护其左右两边比其高的个数，左右相乘为以该柱子为中心下凸的情况数
  那么怎么维护呢？我想到了树状数组求逆序对，和-->某道题有一丝丝像。

以上凸情况为例

• -->维护p数组存放高度i对应的位置，因为高度是不重复的
• -->维护树状数组以位置为下标，表示该位置下的柱子是否存在（方便查询个数）
• -->对高度从小到大循环，确保在当前柱子放之前，比其小的柱子已经放完
• -->查询其左右两边的柱子个数（一定是比当前柱子小的，因为大的还没放）
• -->将当前柱子放入相应位置

for(int i=1;i<=n;i++){
		long long l=ask(p[i]-1);
		long long r=ask(n)-ask(p[i]);
		ans1+=l*r;
		add(p[i],1);
	}

下凸情况反过来跑一遍就行（记得清空树状数组）

总代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=200000+10;
long long a[maxn],c[maxn],p[maxn];
long long n;
inline long long read(){
	long long s=0;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&& ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return s;
}
void add(int x,int y){
	for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;
}
int ask(int x){
	int ans=0;
	for(;x;x-=x&-x)ans+=c[x];
	return ans;
}
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		p[a[i]]=i;
	}
	if(n<3){
		printf("0
");
		printf("0
");
		return 0;
	}
	long long ans1=0,ans2=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		long long l=ask(p[i]-1);
		long long r=ask(n)-ask(p[i]);
		ans1+=l*r;
		add(p[i],1);
	}
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(int i=n;i>=1;i--){
		long long l=(long long)ask(p[i]-1);
		long long r=(long long)(ask(n)-ask(p[i]));
		ans2+=l*r;
		add(p[i],1);
	}
	printf("%lld %lld
",ans2,ans1);
	return 0;
}