竞赛图中三元环的期望个数

竞赛图：每两点之间有且仅有一条有向边的图
({chu_i})出度
({ru_i})入度

竞赛图三元环计数

图中一共有(inom{n}{3})个三元组
考虑对于每一个点(u)，(forall v,win chu_u,(u,v,w))不能构成三元环，而且显然这样的三元组只会在u被枚举到一次。
所以总的三元环个数为，({nchoose3}-sumlimits_{i=1}^n{chu_ichoose2})

竞赛图三元环期望

({g_i}=n−1−chu_i−ru_i)

({nchoose3}-sumlimits_{i=1}^n({chu_ichoose2}+frac{chu_ig_i}2+frac{g_ichoose2}4))

来源:某刘姓大佬博客