短除法

引用：http://baike.baidu.com/view/915249.htm

短除法是求最大公约数的一种方法，也可用来求最小公倍数。求几个数最大公约数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的约数找出来，然后再找出公约数，最后在公约数中找出最大公约数。

 

目录

基本方法

注意事项

举例说明

 

编辑本段基本方法

  

 

　　短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）。

 

　　而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。

 

　　求最大公约数便乘一边，求最小公倍数便乘一半。

 

编辑本段注意事项

　　在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。求最大公约数便乘一边，求最小公倍数便乘一半。这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。

 

编辑本段举例说明

　　例如：求12与18的最大公约数。

 

　　短除法例题

 

　　12的约数有：1、2、3、4、6、12。

 

　　18的约数有：1、2、3、6、9、18。

 

　　12与18的公约数有：1、2、3、6。

 

　　12与18的最大公约数是6。

 

　　这种方法对求两个以上数的最大公约数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。

 

　　12=2×2×3

 

　　18=2×3×3

 

　　12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看，12与18都有公约数2和3，而它们的乘积2×3=6，就是 12与18的最大公约数。

 

　　采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除，则更容易找出公约数和最大公约数。

 

　　从短除中不难看出，12与18都有公约数2和3，它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。

 

　　实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。

 

　　在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的约数都要算出，其它无此约数的数则原样落下。最后把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数。