离散数学--集合论

目录

• 集合与元素
• 全集与空集
• 子集
• 集合的运算
• 集族，幂集和集合的划分

集合与元素

集合与元素：集合是元素的全体。

标记法 集合通常用大写字母表示，元素通常用小写字母表示。术语“(p) 是 (A) 的元素”等价于“(p) 属于 (A)”，记作 (pin A) 。

外延公理 两个集合 (A) 和 (B) 相等当且仅当其元素相同。如果集合 (A) 和 (B) 相等，则记作 (A=B)，否则记作 (A e B) 。

集合的表示 集合有两种基本的表示方法：一是枚举元素，二是描述元素的特征性质。例如：(V = {a,e,i,o,u }) 或 (V = {x | x ext{是元音字母} }) 。

常用的集合及其表示

符号	意义
(mathbb{N})	全体非负整数
(mathbb{Z})	全体整数
(mathbb{Q})	全体有理数
(mathbb{R})	全体实数
(mathbb{C})	全体复数

全集与空集

全集 记号为 (U) 。

空集 没有元素的集合，又称“零集”，记号为 (varnothing)，或者 ({ }) 。

空集的特性

• (forall A : Asubseteq varnothing Rightarrow A = varnothing)
• (p(varnothing) = { varnothing })
• (card(varnothing)=0)
• (forall A : varnothing subseteq A ; A cup varnothing = A; A cap varnothing = varnothing; A imes varnothing = varnothing)

子集

如果集合 (A) 的每个元素都是集合 (B) 的元素，则称 (A) 为 (B) 的一个子集。也称 (A) 包含于 (B) 或者 (B) 包含 (A) 。记作 (Asubseteq B) 。

集合的运算

集合的并交

属于 (A) 或者属于 (B) 的所有元素的集合，称为集合 (A) 和 (B) 的并集，记作 (Acup B)，即 (Acup B = { x:xin A ext{或} xin B }) 。

属于 (A) 并且属于 (B) 的所有元素的集合，称为集合 (A) 和 (B) 的交集，记作 (Acap B)，即 (Acap B = { x:xin A ext{且} xin B }) 。

集合的补

所有属于全集 (U) 但不属于 (A) 的元素构成的集合，记作 (A') 或者 (A^c) 。即：

[A^c= { x:x in U,x otin A } ]

相对补/差

集合 (B) 关于集合 (A) 的相对补，或称集合 (A) 与集合 (B) 的差，记作 (A-B) ，是由所有属于 (A) 但不属于 (B) 的元素构成的集合，即：

[A-B = { x:xin A, x otin B } = A cap B^c ]

集合的基本积

对于 (n) 个不同的集合 (A_1, A_2, cdots, A_n) 它们的基本积是以下形式的任一集合：

[A_1^* cap A_2^* cap cdots cap A_n^* (A_i^* = A 或 A_i^* = A^c) ]

对称差

集合 (A) 和 (B) 的对称差，记作 (Aoplus B) 。是所有属于 (A) 或 (B) 但不同时属于 (A) 和 (B) 的元素的集合。即：

[Aoplus B = { x: (x in A land x otin B) lor (x otin A land xin B) } ]

集族，幂集和集合的划分

集族

集合的集合称为集类或者集族。集族中的元素（集合），称为子类或子族。

幂集

对于给定的集合 (S) ，其所有可能子集的族，称为集合 (S) 的幂集。记作：(Power(S)) 。如果 (S) 为有限集，则 (Power(S)) 也是有限集。

划分

设 (S) 是一个非集合，(S) 的一个划分是将 (S) 剖分为一些不交叠的非空子集。即：(S) 的一个划分是 (S) 的一族非空子集 ({A_i}) 满足：

• (S) 中的每个元素 (a) 属于一个 (A_i) ；
• ({A_i}) 中的集合互不相交，即对于两个不同的集合，(A_i ∩ A_j = 0) 。

划分中的子集叫胞腔。

[partition(S) = { A | (forall x in S, exists A o x in A) land (forall A_i, forall A_j, A_i eq A_j o A_i cap A_j = varnothing)} ]