扩展欧几里得总结

贝祖定理 如果 (a,b) 是整数，那么一定存在整数 (x,y) 使得 (ax+by=gcd(a,b)) 。

判断有解性 如果 (ax+by=m) 有解，那么 (m) 一定是 (gcd(a,b)) 的若干倍。如果 (ax+by=1) 有解，那么 (gcd(a,b)=1) 。

辗转相除法求 (gcd)

int gcd(int a, int b){
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

扩展欧几里得求解

对于方程 (ax+by=gcd(a,b)) ，我们有：

[egin{split} ax_1+by_1 &= gcd(a,b) \ bx_2+(a\%b)y_2 &= gcd(b,a\%b) end{split}]

两式均满足贝祖定理，且一定存在解。

我们将 ((a\%b)) 换成 ((a - lfloor frac{a}{b} floor cdot b)) 有：

[bx_2+(a - lfloor frac{a}{b} floor cdot b)y_2 = gcd(b,a\%b) ]

由于 (gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)) ，联立两式得：

[egin{split} x_1 &= y_2 \ y_1 &= x_2 - lfloor frac{a}{b} floorcdot y_2 end{split}]

易得，边界条件为：

[gcd(a,0)=a \ ax_0+by_0=a Rightarrow x_0 =1;y_0=0 ]

扩展欧几里得的通解

设 (x_c,y_c) 为算法求出的一组解，那么方程的通解为：

[egin{split} x &= x_c + k cdot frac{b}{gcd(a,b)} \ y &= y_c - k cdot frac{a}{gcd(a,b)} end{split}]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>

using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b == 0){
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);
    int temp = y;
    y = x - (a / b) * y;
    x = temp;
    return r;
}
int main()
{
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    int x, y;
    int d = exgcd(a, b, x, y);
    cout << x << " " << y << " " << d << endl;
    return 0;
}