Lecture02_向量与线性代数_GAMES101 课堂笔记——2020.2.14

一、向量(Vectors)

     向量表示示意图：

• 有序实数组，用以表示在不同坐标轴上的投影长度
• 有行和列两种表达方式，在图形学中常以列表达
• 代表了一个有方向的长度
• 基本运算：
  • 加法（满足结合律和交换律）
  • 标量乘以向量（满足结合律和分配率）
  • 点乘（内积，结果为标量，几何意义是 [公式] ，满足分配率和交换律，可用于判断两向量夹角，求向量长度，计算投影等）
  • 叉乘（外积，结果为向量，垂直于原向量构建的平面，长度为 [公式] ，交换叉乘中两向量的位置，会得到长度相同但方向相反的向量）
  • 向量归一化：p的归一化向量q与p方向相同，长度为1，可通过点乘算出

（一）向量归一化

     向量长度表示：(||vec a||)
     单位向量：

• 长度 = 1
• 计算公式：

[hat a = frac{vec a}{||vec a||} ]

• 可用于代表方向

（二）向量相加

     向量相加示意图：

• 几何：遵守平行法则、三角法则
• 代数上：坐标相加

（三）笛卡尔积

     向量相加示意图：

    X和Y可以是任何(通常是正交的单位)向量，

(A = {x choose y })      (A^T = left(x,y ight ))      (||A|| = sqrt{x_2+y_2})

（四）向量相乘

1. 点乘

     向量点乘示意图：

(vec a cdot vec b = left| vec a ight| left| vec b ight| cos heta)     (cos heta = frac{vec a cdot vec b}{left| vec a ight| left| vec b ight|})     
对于单位向量：(cos heta = hat a cdot hat b)

（1）点乘性质

(vec a cdot vec b = vec b cdot vec a)
(vec a cdot left( vec b + vec c ight) = vec a cdot vec b + vec a cdot vec c)
(left( k vec a ight) cdot vec b = vec a cdot left( k vec b ight) = k left( vec a cdot vec b ight))

（2）在笛卡尔坐标系中做点积
     组合相乘，然后相加。

• 二维坐标系

[vec a cdot vec b = {x_a choose y_a} cdot {x_b choose y_b} = x_aX_b+y_ay_b ]

• 三维坐标系

[vec a cdot vec b = egin{pmatrix} x_a \ y_a \ z_a end{pmatrix} cdot egin{pmatrix} x_b \ y_b \ z_b end{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b ]

（3）投影点积
    示意图：

• (vec b_ot):(vec b)在(vec a)上的投影
  • (vec b_ot)必须属于(vec a)(或者属于(hat a))
    • (vec b_ot = k vec a)
  • 求k的值
    • (k = left| vec b_ot ight| cos heta)

（4）图形学中的点乘

• 求两个向量的夹角，(例如:光源与表面夹角的余弦值)
• 求一个向量在另一个向量上的投影

应用
测量两个向量的方向
1）在一个圆中

    例如，图中(vec a cdot vec b >0)属于前向（forward），(vec a cdot vec c <0)属于后向（backward）

2）两个向量之间

（四）向量叉乘（Cross product）

    向量叉乘示意图：

• 叉乘正交于两个原始向量
• 方向遵循右手法则，（一般默认是右手法则，即：(vec x imes vec y = + vec z),但是OpenGL默认是左手法则，即：(vec x imes vec y = - vec z)）
• 可用于构建坐标系

1. 叉乘性质

2. 叉乘：笛卡尔法则

3. 图形学中的叉乘

• 决定方向：左 or 右
  
      两个向量进行叉乘，比如：(vec a imes vec b >0)，所以，(vec a)在(vec b)的顺时针方向（也为：右边）；(vec b imes vec a <0),所以，(vec b)在(vec a)的逆时针方向（也为：左边），如果(vec b imes vec a = 0)，那么(vec a)则与(vec b)共线。后期如果更为细致，还可以用在游戏中判断两个物体的具体方位，比如以自身正对的方向，判断敌人是在自己的左上、左下、右上、右下等位置

• 判断内部 or 外部
  
      如上图，若(P)点在三角形内部，则从同一个端点出发的边（eg:(vec{AB})）与到(P)点的向量（eg:(vec{AP})）,按此顺序判断（即边向量顺序连接），则P点只会在三条边的同一个方向；若在外部，P点相对于三个边的位置将不一致。

注：即使A、B、C调换顺序，按照首尾连接，效果一致。此方法可应用在光线追踪中。

• 建立坐标系
  
      叉乘后的另一个向量必定与原来两个向量垂直。

（五）标准正交基和坐标系（Orthonormal bases and coordinate frames）

1. 用途

• 对于表示点、位置、位置非常重要
• 通常有很多坐标系
  • 全球、本地、世界、模型、模型部分(头，手,…)
• 关键问题是在这正交基和坐标系之间进行转换（见Lecture03笔记）

2. 直角坐标系

    定义一个三维直角坐标系(（u,v,w）)：
(left| vec u ight| = left| vec v ight| = left| vec w ight| = 1)
(vec u cdot vec v = vec v cdot vec w = vec u cdot vec w = 0)
(vec w = vec u imes vec v) (右手法则)
(vec p = left( vec p cdot vec u ight) + left( vec p cdot v ight) vec v + left( vec p cdot vec w ight) vec w)(projection)

二、矩阵（Matrix）

    在图形学中，广泛用于变换、旋转、剪切、缩放等（详见Lecture03笔记）

• 矩阵&标量值相乘/相加：每个元素相乘/相加。
• 矩阵&矩阵相乘：(left(M imes N ight) left( N imes P ight)),要求前一个的列数 = 后一个矩阵的行数。

矩阵&向量 相乘

• 把向量当做一个列矩阵(left( m imes ight))
• 关于y轴的2D反射

[egin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = egin{pmatrix} -x \ y end{pmatrix} ]

1. 矩阵转置

[egin{pmatrix} 1 & 2 \ 6 & 4 \ 5 & 6 end{pmatrix}^T = egin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \ 2 & 4 & 6 end{pmatrix} ]

-矩阵转置的性质

[left( AB ight)^T = B^TA^T ]

2.单位矩阵和逆变换

(I_{3 imes 3} = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix})

(AA^{-1} = A^{-1}A = I)

(left( AB ight)^{-1} = B^{-1}A^{-1})

3. 矩阵形式中的向量相乘

• 点乘：

[vec a cdot vec b = {vec a}^T vec b = egin{pmatrix} x_a & y_a & z_a end{pmatrix} egin{pmatrix} x_b \ y_b \ z_b end{pmatrix} = left(x_ax_b + y_ay_b + z_az_b ight) ]

• 叉乘：

[vec a imes vec b = A * b = egin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \ z_a & 0 & -x_a \ -y_a & x_a & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} x_b \ y_b \ z_b end{pmatrix} ]