BZOJ 1041 HAOI2008 圆上的整点

1041: [HAOI2008]圆上的整点

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Description

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

整点个数

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

 科普视频

Source

 这里先只考虑x，y都大于0的情况

如果x^2+y^2=r^2，则(r-x)(r+x)=y*y

令d=gcd(r-x,r+x),r-x=d*u^2,r+x=d*v^2,显然有gcd(u,v)=1且u<v

有2r=d*(u^2+v^2)，y=d*u*v，x=d(v^2-u^2)/2

枚举2r的约数d，再花费sqrt(2r/d)的时间枚举u，求出v=sqrt(2r/d-u^2)然后判断gcd(u,v)=1

最后结果乘以4（四个象限）+4（坐标轴上）即可

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll ans,r,rr,d;
inline ll gcd(ll xx,ll yy){
    while(yy) {ll t=xx;xx=yy;yy=t%yy;}
    return xx;
}
inline void solve(ll xx){
    for(ll i=1;i<=sqrt(1.0*xx);i++){
        ll t=int(sqrt(1.0*(xx-i*i)+0.5));
        if(i>=t) break;
        if(1ll*t*t+1ll*i*i==1ll*xx&&gcd(i,t)==1) ans++;
    }
}
int main(){
    //freopen("All.in","r",stdin);
    //freopen("a.out","w",stdout);
    cin>>r;
    rr=r<<1;
    ans=1;
    for(ll i=1;i<=sqrt(1.0*rr);i++){
        if(rr%i!=0) continue;
        solve(rr/i);
        if(i*i==rr) break;
        solve(i);
    }
    cout<<ans*4<<endl;
    return 0;
}