BZOJ 1670 Usaco2006 Building the Moat 护城河的挖掘

为了防止口渴的食蚁兽进入他的农场，Farmer John决定在他的农场周围挖一条护城河。农场里一共有N(8<=N<=5,000)股泉水，并且，护城河总是笔直地连接在河道上的相邻的两股泉水。护城河必须能保护所有的泉水，也就是说，能包围所有的泉水。泉水一定在护城河的内部，或者恰好在河道上。当然，护城河构成一个封闭的环。挖护城河是一项昂贵的工程，于是，节约的FJ希望护城河的总长度尽量小。请你写个程序计算一下，在满足需求的条件下，护城河的总长最小是多少。所有泉水的坐标都在范围为(1..10,000,000,1..10,000,000)的整点上，一股泉水对应着一个唯一确定的坐标。并且，任意三股泉水都不在一条直线上。以下是一幅包含20股泉水的地图，泉水用"*"表示

图中的直线，为护城河的最优挖掘方案，即能围住所有泉水的最短路线。路线从左上角起，经过泉水的坐标依次是：(18,0),(6,-6),(0,-5),(-3,-3),(-17,0),(-7,7),(0,4),(3,3)。绕行一周的路径总长为70.8700576850888(...)。答案只需要保留两位小数，于是输出是70.87。

* 第1行: 一个整数，N * 第2..N+1行: 每行包含2个用空格隔开的整数，x[i]和y[i]，即第i股泉水的位置坐标

* 第1行: 输出一个数字，表示满足条件的护城河的最短长度。保留两位小数

20
2 10
3 7
22 15
12 11
20 3
28 9
1 12
9 3
14 14
25 6
8 1
25 1
28 4
24 12
4 15
13 5
26 5
21 11
24 4
1 8

70.87

凸包卡壳

就是一道裸的凸包啊

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll x=0;int f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int MAXN=1e6+10;
struct node{
    ll x,y;
}p[MAXN],s[MAXN];
inline node operator + (node n,node m){
    node t;t.x=n.x+m.x;t.y=n.y+m.y;return t;
}
inline node operator - (node n,node m){
    node t;t.x=n.x-m.x;t.y=n.y-m.y;return t;
}
inline ll operator * (node n,node m){
    return n.x*m.y-n.y*m.x;
}
inline ll dis(node n,node m){
    return (n.x-m.x)*(n.x-m.x)+(n.y-m.y)*(n.y-m.y);
}
inline bool operator < (node n,node m){
    ll t=(n-p[1])*(m-p[1]);
    if(t==0) return dis(p[1],n)<dis(p[1],m);
    else return t>0;
}
void graham(){
    int n=read();int top=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        p[i].x=read();p[i].y=read();
    }
    int k=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(p[i].y<p[k].y||p[i].y==p[k].y&&p[i].x<p[k].x) k=i;
    }
    swap(p[1],p[k]);
    sort(p+2,p+n+1);
    s[++top]=p[1];s[++top]=p[2];
    
    for(int i=3;i<=n;i++){
        while((s[top]-s[top-1])*(p[i]-s[top-1])<=0) top--;
        s[++top]=p[i];
    }
    s[top+1]=p[1];
    double ans=0;
    for(int i=1;i<=top;i++){
        ans+=sqrt(dis(s[i],s[i+1]));
    }
    printf("%.2lf
",ans);
}
int main(){
    graham();
    return 0;
}

关于凸包的讲解

有一些比较好的文章

在学习了一些有关计算机几何的基础知识和一些基本工具之后要快速的解决一些简单的几何问题，如两点之间的距离、两线段的交点个数等等是可以轻松应付的，但是对于复杂点的几何问题，我们还是要有更好的算法，这样才可以更高效的解决它。在这一篇中来总结平面凸包的 Graham算法

平面凸包：

定义：对一个简单多边形来说，如果给定其边界上或内部的任意两个点，连接这两个点的线段上的所有点都被包含在该多边形的边界上或内部的话，则该多边形为凸多边形。

在解决平面凸包下面介绍了两种算法：

一、 Graham扫描法，运行时间为O(nlgn)。

二、 Jarvis步进法，运行时间为O(nh),h为凸包中的顶点数。

例题 1

Graham扫描法

基本思想：通过设置一个关于候选点的堆栈s来解决凸包问题。

操作：输入集合Q中的每一个点都被压入栈一次，非CH（Q）(表示Q的凸包)中的顶点的点最终将被弹出堆栈，当算法终止时，堆栈S中仅包含CH(Q)中的顶点，其顺序为个各顶点在边界上出现的逆时针方向排列的顺序。

注：下列过程要求|Q|>=3，它调用函数TOP（S）返回处于堆栈S 顶部的点，并调用函数NEXT-TO –TOP（S）返回处于堆栈顶部下面的那个点。但不改变堆栈的结构。

GRAHAM-SCAN(Q)

1 设P0 是Q 中Y 坐标最小的点，如果有多个这样的点则取最左边的点作为P0；

2 设<P1,P2,……,Pm>是Q 中剩余的点，对其按逆时针方向相对P0 的极角进行排序，如果有数个点有相同的极角，则去掉其余的点，只留下一个与P0 距离最远的那个点；

3 PUSH(p0 , S)

4 PUSH(p1 , S)

5 PUSH(p3 , S)

6 for i ← 3 to m

7 do while 由点NEXT-TOP-TOP（S），TOP（S）和Pi 所形成的角形成一次非左转

8 do POP(S)

9 PUSH(pi , S)

10 return S

做好了预处理后开始对堆栈中的点<p3,p4,...,pm>中的每一个点进行迭代，在第7到8行的while循环把发现不是凸包中的顶点的点从堆栈中移去。（原理：沿逆时针方向通过凸包时，在每个顶点处应该向左转。因此，while循环每次发现在一个顶点处没有向左转时，就把该顶点从堆栈中弹出。）当算法向点pi推进、在已经弹出所有非左转的顶点后，就把pi压入堆栈中。

举例如下：

BZOJ 1670 Usaco2006 Building the Moat 护城河的挖掘

1670: [Usaco2006 Oct]Building the Moat护城河的挖掘

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

HINT

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