BZOJ 2115 Wc2011 Xor

2115: [Wc2011] Xor

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Description

Input

第一行包含两个整数N和 M，表示该无向图中点的数目与边的数目。接下来M 行描述 M 条边，每行三个整数Si，Ti ，Di，表示 Si 与Ti之间存在一条权值为 Di的无向边。图中可能有重边或自环。

Output

仅包含一个整数，表示最大的XOR和（十进制结果）,注意输出后加换行回车。

Sample Input

5 7
1 2 2
1 3 2
2 4 1
2 5 1
4 5 3
5 3 4
4 3 2

Sample Output

HINT

Source

这道题要求从1到n的最大xor和路径，存在重边，允许经过重复点、重复边。那么在图上作图尝试之后就会发现，路径一定是由许多的环和一条从1到n的路径组成。容易发现，来回走是没有任何意义的，因为来回走意味着抵消。考虑这道题求得是路径xor和最大，所以必然我们要想办法处理环的情况。我的做法是任意地先找出一条从1到n的路径，把这条路径上的xor和作为ans初值（先不管为什么可行），然后我们的任务就变成了求若干个环与这个ans初值所能组合成的xor最大值。显然，我们需要预处理出图上所有的环，并处理出所有环的环上xor值，这当然是dfs寻找，到n的路径的时候顺便求一下就可以了。

　　当我们得到了若干个环的xor值之后，因为是要求xor最大值，我们就可以构出这所有xor值的线性基。构出之后，再用ans在线性基上取max就可以了。

　　现在我们来讨论上述做法的可行性。

　　第一种情况：我们对最终答案产生贡献的某个环离1到n的主路径很远，这样的话，因为至少可以保证1可以到达这个环，那么我们可以走到这个环之后绕环一周之后原路返回，这样从1走到环的路上这一段被重复经过所以无效，但是环上的xor值被我们得到了，所以我们并不关心这个环和主路径的关系，我们只关心环的权值。

　　第二种情况：我们任意选取的到n的路径是否能保证最优性。假设存在一条更优的路径从1到n，那么这条路径与我们原来的路径构成了一个环，也就会被纳入线性基中，也会被计算贡献，假如这个环会被经过，那么最后的情况相当于是走了两遍原来选取的路径，抵消之后走了一次这个最优路径，所以我们无论选取的是哪条路径作为ans初值，都可以通过与更优情况构成环，然后得到一样的结果。这一证明可以拓展到路径上的任意点的路径选取。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 1e9+10
#define eps 1e-7
using namespace std;
inline ll read(){
	ll x=0;int f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int MAXN=1e6+10;
struct node{
	int y,next;ll v;
}e[MAXN];
int linkk[MAXN],len,n,m,vis[MAXN],tot;
ll bin[65],sum[MAXN],b[MAXN],dis[MAXN];
inline void insert(int xx,int yy,ll vv){
	e[++len].y=yy;e[len].v=vv;e[len].next=linkk[xx];linkk[xx]=len;
}
inline void dfs(int st,ll s){
	vis[st]=1;dis[st]=s;
	for(int i=linkk[st];i;i=e[i].next){
		if(!vis[e[i].y]){
			dfs(e[i].y,s^e[i].v);
		}
		else{
			sum[++tot]=dis[e[i].y]^s^e[i].v;
		}
	}
}
int main(){
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int xx=read();int yy=read();ll vv=read();
		insert(xx,yy,vv);
		insert(yy,xx,vv);
	}
	dfs(1,0);
	bin[0]=1;for(int i=1;i<=63;i++) bin[i]=bin[i-1]<<1;
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		for(int j=63;j>=0;j--){
			if(sum[i]&bin[j]){
				if(!b[j]){
					b[j]=sum[i];break;
				}
				else sum[i]^=b[j];
			}
		}
	}
	ll ans=dis[n];
	for(int i=63;i>=0;i--){
		ans=max(ans,ans^b[i]);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}