树状数组入门

P3374 【模板】树状数组 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含3个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x k 含义：将第x个数加上k

操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4

输出样例#1： 复制

14
16

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

样例说明：

故输出结果14、16

 推荐博客：https://www.cnblogs.com/MisakaAzusa/p/8666551.html

如上图：a[ ]数组为原数组，b[ ]数组为BIT（树状数组 Binary Indexed Tree）

1=(001)      b[1] = a[1]

2=(010)      b[2] = a[1] + a[2]

3=(011)      b[3] = a[3]

4=(100)      b[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]

5=(101)      b[5] = a[5]

6=(110)      b[6] = a[5] + a[6]

7=(111)      b[7] = a[7]

8=(1000)    b[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8] 

对照式子可以发现  b[i] = a[i-2^k+1] + a[i-2^k+2] + ......a[i]（k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）

例如i=8时，k=3，i=7时，k=0，i=2时，k=1。

由此我们引出了lowbit函数：

lowbit(i) = 2^k

b[i] = a[i-lowbit(i)+1] + a[i-lowbit(i)+2] + ......a[i]

 

这个神奇的函数会支持你的操作，向前和向后跳，每次跳到的之间有着必然的关系

 

对于这个题来说，只维护两种操作，单点修改和区间查询

1.单点修改时需要维护BIT数组，从前向后，维护BIT数组性质不变

例如：修改BIT[2],那必须要维护BIT[4]和BIT[8]，只对后面的造成影响

lowbit(k)函数登场：

int lowbit(int k){
    return k&-k;
}

单点修改同时维护BIT数组

void add(int k,int num){
    while(k<=n){
        bit[k]+=num;
        k+=lowbit(k);
    }
}

2.区间查询

跟修改的原理是一样的，不过是反着做，比如查询7位置之前所有的和，就是BIT[7] + BIT[6] + BIT[4]。

这里你会想，我们的查询函数是查询从 1——k 的值的和，要是查询一个区间 l——r（包含 l 和 r 的值） 的话怎么办？

我们利用前缀和的思想，查询 l——r 就等于query(r) - query(l-1)。

 

#include<stack>
#include<iostream>
#include<cstdio>

#define N 500005
using namespace std;

void in(int &x){
    register char c=getchar();x=0;int f=1;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}

int a[N],bit[N],n,m;

int lowbit(int x){
    return x&-x;
}

void add(int k,int num){
    while(k<=n){
        bit[k]+=num;
        k+=lowbit(k);
    }
}

int ask(int k){
    int sum=0;
    while(k>0){
        sum+=bit[k];
        k-=lowbit(k);
    }return sum;
}

int main()
{
    in(n);in(m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        in(a[i]);
        add(i,a[i]);
    }for(int p,l,r,i=1;i<=m;i++){
        in(p);in(l);in(r);
        if(p==1) add(l,r);
        else printf("%d
",ask(r)-ask(l-1));
    }return 0;
}

P3368 【模板】树状数组 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某区间每一个数数加上x

2.求出某一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含2或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k

操作2： 格式：2 x 含义：输出第x个数的值

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4

输出样例#1： 复制

6
10

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

样例说明：

故输出结果为6、10

 差分思想：设a[ ]数组为原数组，b[ ]数组为差分数组，b[i]=a[i]-a[i-1]

　　　　　 取个前缀和，b[ ]->a[ ]

　　　　　 例如 a[ ]={1,2,8,4,3,6},b[ ]={1,1,6,-4,-1,3}，取前缀和之后b[ ]=a[ ]

　　　　　 给区间[2,4] 都加上2，a[ ]={1,4,10,6,3,6},b[ ]={1,3,6,-4,-5,3}

　　　　　 发现了没有，b数组只有b[2]和b[5]变了，因为区间[2,4]是同时加上2的,所以在区间内b[i]-b[i-1]是不变的.

　　　　　 所以对区间[x,y]进行修改,只用修改b[x]与b[y+1]:

　　　　　 b[x]=b[x]+k;b[y+1]=b[y+1]-k;

 区间修改：建立的是差分数组，修改的也是差分数组

 单点查询：本来ask(k)函数就是查询[1,k]的区间和，由于时差分数组，所以ask(k)返回的值就是ans

#include<stack>
#include<iostream>
#include<cstdio>

#define N 500005
using namespace std;

void in(int &x){
    register char c=getchar();x=0;int f=1;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}

int a[N],bit[N],n,m;

int lowbit(int k){
    return k&-k;
}

void add(int k,int num){
    while(k<=n){
        bit[k]+=num;
        k+=lowbit(k);
    }
}
int ask(int k){
    int sum=0;
    while(k>0){
        sum+=bit[k];
        k-=lowbit(k);
    }return sum;
}

int main()
{
    in(n);in(m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        in(a[i]);
        add(i,a[i]-a[i-1]);
    }for(int p,x,y,k,i=1;i<=m;i++){
        in(p);in(x);
        if(p==1){
            in(y);in(k);
            add(x,k);add(y+1,-k);
        }else printf("%d
",ask(x));
    }return 0;
}