二项式分布Binomial Distribution
引言
因为我在一个课题中，需要统计一个基因出现的频率数，是否有显著性。原看文献说是应用超几何分布检验，后来经过调研，参考这篇Without Replacement; Hypergeometric / With replacement: Binomial 。
最后我认为是不放回抽样的模型，所以应该使用二项式分布模型，所以这里总结一下二项式分布概率计算和R语言实现的知识。
二项分布是离散的概率分布。它描述了一个实验中n个独立试验的结果。每个试验都假定只有两种结果，要么成功，要么失败。如果一次试验成功的概率是p，那么事件X，即在n次独立试验中k次试验成功的概率为:
公式个人理解：因为是放回抽样的模型，每次抽样是相互独立的，所以事件X，可以理解为等价于，一个子事件（该子事件的发生概率是p^k * q ^(n-k)），然后乘以排列组合的项。
Problem
假设在英语课堂测验中有10道单项选择题。每个问题有4个选项，其中只有1个是正确的。如果学生准备随机回答每一个问题，请问回答正确的不少于6道题目的概率。这个例子可以通俗理解为，一次考试试卷一共10道选择题，答对6道算是及格，问他全蒙的话，能及格的概率。
Solution
因为4个可能的答案中只有1个是正确的，所以随机回答一个问题的正确概率是1/4=0.25。我们可以通过下面的办法，找出恰好答对6道的概率。
> options(digits = 3)
> dbinom(x = 6, size = 10, prob = 0.25)
[1] 0.0162
因为事件X是答对不少于6道题，所以接下来可以有两种解决问题的思路：一是分别计算答对7，8，9，10道的概率并求和；二是分别计算答对0-5道题的概率，用1减求和。
两种思路都可以，下面我用第二种思路计算，答对0， 1， 2， 3，4，5 道题的概率并求和：
> sum(unlist(lapply(0:5, function(x){dbinom(x, size = 10, prob = 0.25)})))
[1] 0.98
上面使用了R语言dbinom函数，我们也可以根据公式自行计算刚好答对6道题的概率，如下：
> pvalue <- factorial(10)/ factorial(4)/factorial(6) * 0.25^6 * 0.75^4
> print(pvalue)
[1] 0.0162
# 可以看到计算结果和R语言stats包中的dbinom函数的计算结果一致。
# 计算答对题目道数，从0到5道题的概率之和
> sum(unlist(lapply(0:5, function(x){factorial(10)/ factorial(x)/factorial(10-x)*0.25^x * 0.75^(10-x)})))
[1] 0.98
所以，根据结果得出结论，该同学全蒙的情况下，98%的概率他答对题目数不到6道，也就是说，全蒙的话，98%的概率会挂科。
另外，可以发现上述逐个计算概率再求和比较麻烦，R语言提供了pbinom() 函数，直接计算答对不超过5道的概率，计算结果也是一致的，如下：
> pbinom(5, size = 10, prob = 0.25)
[1] 0.98